《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

19. (8分)(2024·宿迁模拟)如图,在$Rt\triangle AOB$中,$\angle AOB= 90^{\circ}$,以点$O$为圆心,$OA长为半径的圆交AB于点C$,点$D在边OB$上,且$CD= BD$.
(1)判断直线$CD与\odot O$的位置关系,并说明理由;
(2)若$\tan \angle ODC= \frac{24}{7},OB= 32$,求$\odot O$的半径.

答案：

(1)直线CD与⊙O相切，理由如下：连接OC，如图所示，则OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA.
∵CD=BD，
∴∠DCB=∠DBC.
∵∠DBC+∠OAC=90°，
∴∠DCB+∠OCA=90°，
∴∠OCD=180°-(∠DCB+∠OCA)=90°.
∵OC为半径，
∴直线CD与⊙O相切.
　　　　　　　　　　　　　　　
(2)设⊙O的半径为r，
∵tan∠ODC=$\frac{OC}{CD}=\frac{r}{CD}=\frac{24}{7}$，
∴CD=BD=$\frac{7}{24}r$，
∴OD=$\sqrt{OC^{2}+CD^{2}}=\frac{25}{24}r$.
∵OB=OD+BD=32，
∴$\frac{25}{24}r+\frac{7}{24}r=32$，解得r=24.

20. (10分)(2024·遂宁中考)小明的书桌上有一个L型台灯,灯柱$AB$高40 cm,他发现当灯带$BC与水平线BM的夹角为9^{\circ}$时(图①),灯带的直射宽$DE(BD\perp BC,CE\perp BC)$为35 cm,但此时灯的直射宽度不够,当他把灯带调整到与水平线的夹角为$30^{\circ}$时(图②),直射宽度刚好合适,求此时台灯最高点$C$到桌面的距离.(结果保留一位小数)($\sin 9^{\circ}\approx 0.16,\cos 9^{\circ}\approx 0.99,\tan 9^{\circ}\approx 0.16$)

答案：
由已知，BM//AE，在题图①中，DE//BM，
∵BD⊥BC，CE⊥BC，
∴BD//CE，
∴四边形BDEM是平行四边形，
∴BM=DE=35cm，在Rt△BMC中，BC=BM·cos9°.如图，过点C作CN⊥BM于点N，
∴CN=BCsin30°=BM·cos9°·sin30°≈35×0.99×$\frac{1}{2}≈17.3$cm.
∵灯柱AB高40cm，点C到桌面的距离为AB+CN=40+17.3=57.3cm.答：此时台灯最高点C到桌面的距离为57.3cm.
　　　　　　　　　　　　　　　　

21. (10分)新趋势尺规作图(2023·广州中考)如图,$AC是菱形ABCD$的对角线.
(1)尺规作图:将$\triangle ABC绕点A逆时针旋转得到\triangle ADE$,点$B旋转后的对应点为D$(保留作图痕迹,不写作法).
(2)在(1)所作的图中,连接$BD、CE$.
①求证:$\triangle ABD\backsim \triangle ACE$;
②若$\tan \angle BAC= \frac{1}{3}$,求$\cos \angle DCE$的值.

答案：

(1)如图①，△ADE就是所求作的图形.
(2)①如图②，由旋转得AB=AD，AC=AE，∠BAC=∠DAE，
∴$\frac{AB}{AC}=\frac{AD}{AE}$，∠BAC+∠CAD=∠DAE+∠CAD，
∴∠BAD=∠CAE，
∴△ABD∽△ACE.
②如图②，延长AD交CE于点F.
∵AB=AD，BC=DC，AC=AC，
∴△ABC≌△ADC(SSS)，
∴∠BAC=∠DAC.
∵∠BAC=∠DAE，
∴∠DAE=∠DAC.
∵AE=AC，
∴AF⊥CE，
∴∠CFD=90°.设CF=m，CD=AD=x.
∵$\frac{CF}{AF}=\tan∠DAC=\tan∠BAC=\frac{1}{3}$，
∴AF=3CF=3m，
∴DF=3m - x.
∵CF²+DF²=CD²，
∴m²+(3m - x)²=x²，解得x=$\frac{5}{3}m$，
∴CD=$\frac{5}{3}m$，
∴cos∠DCE=$\frac{CF}{CD}=\frac{m}{\frac{5}{3}m}=\frac{3}{5}$，
∴cos∠DCE的值是$\frac{3}{5}$.