《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

1. (2025·无锡期末)将抛物线 $ y = x ^ { 2 } + 2 x - 1 $ 向右平移 3 个单位长度后得到新抛物线的顶点坐标为 (D)
A.$ ( - 4, - 1 ) $
B.$ ( - 4, - 2 ) $
C.$ ( 2, 1 ) $
D.$ ( 2, - 2 ) $

答案： D 【解析】
∵y=x²+2x-1=(x+1)²-2,
∴将抛物线y=x²+2x-1向右平移3个单位长度后得到新抛物线的表达式为y=(x+1-3)²-2=(x-2)²-2,
∴新抛物线的顶点坐标为(2,-2),故选D.

2. (陕西中考)下表中列出的是一个二次函数的自变量 $ x $ 与函数值 $ y $ 的几组对应值:


下列各选项中,正确的是 (C)
A.这个函数的图像开口向下
B.这个函数的图像与 $ x $ 轴无交点
C.这个函数的最小值小于 $ - 6 $
D.当 $ x ＞ 1 $ 时,$ y $ 的值随 $ x $ 值的增大而增大

答案： C 【解析】设二次函数的表达式为y=ax²+bx+c,依题意得{4a-2b+c=6,c=-4,a+b+c=-6,解得{a=1,b=-3,c=-4,
∴二次函数的表达式为y=x²-3x-4=(x$\frac{-3}{2}$)²$\frac{-25}{4.}$
∵a=1＞0,
∴这个函数的图像开口向上,故A选项不符合题意;
∵b²-4ac=(-3)²-4×1×(-4)=25＞0,
∴这个函数的图像与x轴有两个不同的交点,故B选项不符合题意;
∵a=1＞0,
∴当x=$\frac{3}{2}$时,这个函数有最小值$\frac{-25}{4}$＜-6,故C选项符合题意;
∵这个函数的图像的顶点坐标为($\frac{3}{2}$,$\frac{-25}{4}$),
∴当x＞$\frac{3}{2}$时,y的值随x值的增大而增大,故D选项不符合题意.故选C.

3. (2024·苏州期中)二次函数 $ y = a ( x - 3 ) ^ { 2 } + c $ 与一次函数 $ y = c x + a $ 在同一坐标系中的大致图像是 (A)

答案： A 【解析】由题意得二次函数的对称轴为直线x=3,当x=0时,有y=9a+c,即抛物线与y轴的交点坐标为(0,9a+c),故C错误,不符合题意;A.由二次函数的图像得a＞0,顶点坐标为(3,c),且c＜0,所以一次函数交y轴于正半轴,且经过第一、二、四象限,故此选项符合题意;B.由二次函数的图像得a＞0,由一次函数图像得a＜0,符号不一致,故此选项错误,不符合题意;D.由一次函数图像得c＞0,a＞0,由抛物线的顶点坐标可知c＜0,所以前后矛盾,故此选项不符合题意.故选A.

4. (苏州中考)已知抛物线 $ y = x ^ { 2 } + k x - k ^ { 2 } $ 的对称轴在 $ y $ 轴右侧,现将该抛物线先向右平移 3 个单位长度,再向上平移 1 个单位长度后,得到的抛物线正好经过坐标原点,则 $ k $ 的值是 (B)
A.$ - 5 $ 或 $ 2 $
B.$ - 5 $
C.$ 2 $
D.$ - 2 $

答案： B 【解析】
∵y=x²+kx-k²的对称轴在y轴右侧,
∴-k/2＞0,
∴k＜0.将该抛物线先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后,得到的抛物线正好经过坐标原点,说明平移前抛物线y=x²+kx-k²经过(-3,-1),则-1=(-3)²-3k-k²,解得k₁=-5,k₂=2(舍去),
∴k的值是-5,故选B.
一题多解
抛物线y=x²+kx-k²=(x$\frac{+1}{2}$k)²$\frac{-5}{4}$k².
∵对称轴在y轴右侧,
∴$\frac{-1}{2}$k＞0,即k＜0.将该抛物线先向右平移3个单位长度,再向上平移1个单位长度后得到的抛物线的表达式为y=(x$\frac{+1}{2}$k-3)²$\frac{-5}{4}$k²+1.将(0,0)代入,得($\frac{1}{2}$k-3)²$\frac{-5}{4}$k²+1=0,化简,得k²+3k-10=0,解得k₁=-5,k₂=2(舍去),
∴k的值是-5,故选B.

5. 如图,在正方形 $ ABCD $ 中,点 $ A $、$ C $ 的坐标分别是 $ ( - 1, 4 ) $,$ ( 1, 0 ) $,点 $ D $ 在抛物线 $ y = \frac { 1 } { 2 } x ^ { 2 } + m x $ 上,则 $ m $ 的值是 ( )

A.$ \frac { 2 } { 3 } $
B.$ \frac { 1 } { 2 } $
C.$ \frac { 7 } { 3 } $
D.$ 1 $

答案：
B 【解析】如图,作DM⊥x轴于点M,AN⊥y轴交MD的延长线于点N.
∵四边形ABCD是正方形,
∴∠ADC=90°,AD=DC,
∴∠ADN+∠CDM=90°=∠CDM+∠DCM,
∴∠ADN=∠DCM.
∵∠AND=∠DMC=90°,
∴△ADN≌△DCM(AAS),
∴AN=DM,DN=CM.设D(a,b).
∵点A、C的坐标分别是(-1,4),(1,0),
∴{a-(-1)=b,4-b=a-1,解得{a=2,b=3,
∴D(2,3).
∵点D在抛物线y=$\frac{1}{2}$x²+mx上,
∴$\frac{1}{2}$×2²+2m=3,解得m=$\frac{1}{2}$,故选B.