《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

22. (8分)(1)如图①,在$\triangle ABC$中,$∠BAC= 90^{\circ }$,点D、E分别是BA和CA延长线上的点,且$\triangle ABC\backsim \triangle AED$.点M是BC的中点,延长MA交DE于点N,求证:$MN⊥DE$.
(2)如图②,在小正方形的边长为1的网格中,$\triangle ABC$的顶点均在格点上.请仅用无刻度的直尺按下列要求分别作图,并保留作图痕迹(不需要写作法).
①延长AC至点E,延长BC至点F,连接EF,使$\triangle ABC\backsim \triangle FEC$;
②在线段FE上作一点P,使得点P到点C的距离最小.

答案：
(1)
∵在△ABC中,∠BAC=90°,点M是BC的中点,
∴$AM=CM$,∠C+∠B=90°,
∴∠MAC=∠C;
∵△ABC∽△AED,
∴∠E=∠B.
∵∠EAN=∠MAC,
∴∠EAN=∠C,
∴∠E+∠EAN=90°,
∴∠ENA=180°−90°=90°,
∴$MN⊥DE$.
(2)①如图，△FEC即为所求②如图,点P即为所求

23. (10分)(2024·巴中中考)如图,$\triangle ABC内接于\odot O$,点D为$\widehat {BC}$的中点,连接AD、BD,BE平分$∠ABC$交AD于点E,过点D作$DF// BC$交AC的延长线于点F.
(1)求证:DF是$\odot O$的切线.
(2)求证:$BD= ED$.
(3)若$DE= 5$,$CF= 4$,求AB的长.

答案：
(1)如图①,连接OD,
∵点D为$\widehat{BC}$的中点,
∴$OD⊥BC$.
∵$DF//BC$,
∴$DF⊥OD$,且OD是⊙O的半径,
∴DF是⊙O的切线
(2)
∵点D为$\widehat{BC}$的中点,
∴$\widehat{BD}=\widehat{CD}$,
∴∠CBD=∠BAD.
∵BE平分∠ABC,
∴∠ABE=∠CBE.
∵∠DEB=∠BAD+∠ABE,∠DBE=∠CBD+∠CBE,
∴∠DBE=∠DEB
∴$DB=DE$;
(3)如图②,连接CD,
∵$DE=5$,$BD=DE$,
∴$BD=5$.
∵$BD=CD$，
∴$CD=BD=5$.
∵$BC//DF$,
∴∠ACB=∠F,而∠ACB=∠ADB,
∴∠ADB=∠F;
∵四边形ABDC为⊙O的内接四边形,
∴∠ABD+∠ACD=180°=∠ACD+∠DCF,
∴∠DCF=∠ABD,
∴△FDC∽△DAB,
∴$\frac{FC}{DB}=\frac{CD}{AB}$,而$CF=4$,
∴$\frac{4}{5}=\frac{5}{AB}$,
∴$AB=\frac{25}{4}$,经检验，符合题意.