《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

12. 设$x_{1}$、$x_{2}是方程x^{2}-6x+a= 0$的两个根,以$x_{1}$、$x_{2}$为两边长的等腰三角形只可以画出一个,则实数a的取值范围是$0＜a≤8$.

答案： $0＜a≤8$【解析】方程$x^{2}-6x+a=0$的两个根为$x=3\pm \sqrt {9-a}$,设$x_{1}$、$x_{2}$为方程的两个根.若$x_{1}=x_{2}$,此时$a=9$,以$x_{1}$、$x_{2}$为两边长的等腰三角形有无数个,不符合题意;若$x_{1}≠x_{2}$,设$x_{1}＜x_{2}$,则$x_{1}=3-\sqrt {9-a},x_{2}=3+\sqrt {9-a},\because x_{1}＞0,x_{2}＞0,\therefore 0＜a＜9.$①以$x_{1}$为底,$x_{2}$为腰的等腰三角形必有一个,此时$0＜a＜9.$②以$x_{1}$为腰,$x_{2}$为底的等腰三角形不存在,则有$2x_{1}≤x_{2},\therefore 6-2\sqrt {9-a}≤3+\sqrt {9-a},\therefore 0＜a≤8$.综上所述,当$0＜a≤8$时满足题意.

13.(12分)解下列方程：
(1)$4(x+1)^{2}= \frac {1}{4}$；
(2)$x^{2}+4x+2= 0$；
(3)$x(x-2)= 2-x$；
(4)$2x^{2}-10x= -13$.

答案：
(1)$4(x+1)^{2}=\frac {1}{4}$,两边同时除以4得$(x+1)^{2}=\frac {1}{16},\therefore x+1=\pm \frac {1}{4},\therefore x_{1}=-\frac {3}{4},x_{2}=-\frac {5}{4}$.
(2)$x^{2}+4x+2=0$,两边同时加2得$x^{2}+4x+4=2,\therefore (x+2)^{2}=2,\therefore x+2=\pm \sqrt {2},\therefore x_{1}=-2+\sqrt {2},x_{2}=-2-\sqrt {2}$.
(3)$x(x-2)=2-x$,移项,分解因式得$(x-2)(x+1)=0,\therefore x-2=0$或$x+1=0,\therefore x_{1}=2,x_{2}=-1$.
(4)$2x^{2}-10x=-13$,移项,得$2x^{2}-10x+13=0,\because a=2,b=-10,c=13,\therefore b^{2}-4ac=(-10)^{2}-4×2×13=-4＜0$,
∴原方程无实数根.

14.(8分)新趋势 过程性学习 如图,点A与点C表示的数分别为1和3,宸宸同学在数轴上以点C为直角顶点作$Rt△ABC$,$BC= 1$,再以点A为圆心,AB长为半径画圆,交数轴于D、E两点,莲莲同学说：“若D、E两点表示的数分别为m和n,我发现$x= m是一元二次方程x^{2}+bx-4= 0$的一个根.”琮琮同学说：“$x= n$一定不是此方程的根.”
(1)写出m与n表示的数.
(2)求出b的值.
(3)你认为琮琮同学说得对吗？为什么？

答案：
(1)在$Rt△ABC$中,$\because BC=1,AC=2,\therefore AB=\sqrt {1^{2}+2^{2}}=\sqrt {5},\therefore AE=AD=AB=\sqrt {5}$,
∴点 D 表示的数为$\sqrt {5}+1$,即$m=\sqrt {5}+1$,点E表示的数为$-\sqrt {5}+1$,即$n=-\sqrt {5}+1$.
(2)把$x=\sqrt {5}+1$代入方程$x^{2}+bx-4=0$,得$(\sqrt {5}+1)^{2}+(\sqrt {5}+1)b-4=0$,解得$b=-2$.
(3)琮琮同学说得不对.理由:把$x=-\sqrt {5}+1$代入方程得$(-\sqrt {5}+1)^{2}-2×(-\sqrt {5}+1)-4=5-2\sqrt {5}+1+2\sqrt {5}-2-4=0$,所以$x=n$一定是此方程的根.