《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

14. (12 分)(宜昌中考节选)某造纸厂为节约木材,实现企业绿色低碳发展,通过技术改造升级,使再生纸项目的生产规模不断扩大.该厂 3、4 月份共生产再生纸 800 吨,其中 4 月份再生纸产量比 3 月份的 2 倍少 100 吨.
(1)求 4 月份再生纸的产量;
(2)若 4 月份每吨再生纸的利润为 1000 元,5 月份再生纸产量比上月增加 $m\%$,5 月份每吨再生纸的利润比上月增加 $\frac{m}{2}\%$,则 5 月份再生纸项目月利润达到 66 万元.求 m 的值.

答案：
(1)设3月份再生纸的产量为x吨，则4月份再生纸的产量为(2x-100)吨，由题意得x+2x-100=800，解得x=300，
∴2×300-100=500(吨).答：4月份再生纸的产量为500吨.
(2)由题意得10000$(1+\frac{m}{2}\%)$×500(1+m%)=660000，整理得m²+300m-6400=0，解得m₁=20，m₂=-320(不合题意，舍去).答：m的值为20.

15. (14 分)某超市拟于 50 天里销售某种水果,其进价为 18 元/千克.设第 x 天的销售价格为 y 元/千克,销售量为 m 千克.该超市根据以往的销售经验得出以下的销售规律:
①当 $1\leq x\leq 30$ 时,$y = 43$;当 $31\leq x\leq 50$ 时,y 与 x 满足关系式为 $y = -\frac{1}{2}x + 55$;
②销售量 m 与 x 的关系如图所示.
(1)求 m 与 x 的关系式;
(2)超市在第几天销售可获利 4250 元?

答案：
(1)设m与x的关系式为m=kx+b，把(2,60)和(40,250)代入m=kx+b中，得$\begin{cases} 2k+b=60, \\ 40k+b=250, \end{cases}$解得$\begin{cases} k=5, \\ b=50, \end{cases}$
∴m与x的关系式为m=5x+50.
(2)当1≤x≤30时，(43-18)(5x+50)=4250，解得x=24；当31≤x≤50时，$(-\frac{1}{2}x+55-18)(5x+50)=4250$，整理得x²-64x+960=0，
∴(x-24)(x-40)=0，解得x=24(舍去)或x=40.综上所述，超市在第24天和第40天销售可获利4250元.

16. (14 分)如图,等腰直角三角形 ABC 的直角边 $AB = BC = 10cm$,点 P、Q 分别从 A、C 两点同时出发,均以 1 cm/s 的速度做直线运动,已知点 P 沿射线 AB 运动,点 Q 沿边 BC 的延长线运动,PQ 与直线 AC 相交于点 D.设点 P 的运动时间为 t s,$\triangle PCQ$ 的面积为 $Scm^{2}$.
(1)求 S 关于 t 的函数关系式.
(2)当点 P 运动几秒时,$S_{\triangle PCQ} = S_{\triangle ABC}$?
(3)作 $PE\perp AC$ 于点 E,当点 P、Q 运动时,线段 DE 的长度是否改变? 证明你的结论.

答案：
(1)当0＜t＜10时，点P在线段AB上，如题图，此时CQ=t cm，PB=(10-t)cm.
∵$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}CQ·PB$，
∴$S=\frac{1}{2}·t·(10-t)=\frac{1}{2}(10t-t²)$.当t＞10时，点P在线段AB的延长线上，如图①，此时CQ=t cm，PB=(t-10)cm.
∵$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}CQ·PB$，
∴$S=\frac{1}{2}·t·(t-10)=\frac{1}{2}(t²-10t)$.综上所述，$S=\begin{cases} \frac{1}{2}(10t-t²)(0＜t＜10), \\ \frac{1}{2}(t²-10t)(t＞10). \end{cases}$
(2)
∵$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}AB·BC=50\ \text{cm}^2$，
∴当0＜t＜10时，$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}(10t-t²)=50$，整理得t²-10t+100=0，无解.当t＞10时，$S_{\triangle PCQ}=\frac{1}{2}(t²-10t)=50$，整理得t²-10t-100=0，解得$t=5\pm5\sqrt{5}$.
∵t＞10，
∴$t=5+5\sqrt{5}$，
∴当点P运动$(5+5\sqrt{5})\text{s}$时，$S_{\triangle PCQ}=S_{\triangle ABC}$.
(3)当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.证明：如图②，过点Q作QM⊥AC，交直线AC于点M，连接EQ.在Rt△APE和Rt△QCM中，
∵∠A=45°，∠QCM=∠ACB=45°，
∴∠A=∠QCM.
∵AP=QC=t cm，∠AEP=∠QMC=90°，
∴△APE≌△CQM(AAS)，
∴AE=PE=CM=QM=$\frac{\sqrt{2}}{2}t$ cm，
∴四边形PEQM是平行四边形，且DE是对角线EM的一半.又
∵EM=AC=$10\sqrt{2}$ cm，
∴DE=$5\sqrt{2}$ cm，
∴当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.同理，当点P在点B右侧时，DE=$5\sqrt{2}$ cm.综上所述，当点P、Q运动时，线段DE的长度不会改变.