《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

8. 新题型 新定义 (岳阳中考)定义:我们将顶点的横坐标和纵坐标互为相反数的二次函数称为“互异二次函数”.如图,在正方形OABC中,点 $ A ( 0, 2 ) $、点 $ C ( 2, 0 ) $,则互异二次函数 $ y = ( x - m ) ^ { 2 } - m $ 与正方形OABC有交点时m的最大值和最小值分别是 (D)

A.4, -1
B.$ \frac { 5 - \sqrt { 17 } } { 2 }, - 1 $
C.4, 0
D.$ \frac { 5 + \sqrt { 17 } } { 2 }, - 1 $

答案： D

9. 新趋势 开放性试题 (2024·无锡模拟)请写出一个函数表达式,使其是开口向上,顶点在第三象限,与y轴交于负半轴的抛物线:y = (x + 1)² - 3.

答案： y = (x + 1)² - 3(答案不唯一)

10. 二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 4 x + 5 - m ^ { 2 } $ 的图像过点 $ ( 0, 4 ) $,则m的值为±1.

答案： ±1

11. (益阳中考)已知y是x的二次函数,如表给出了y与x的几对对应值:
| $ x $ | …$ $ | $ - 2 $ | $ - 1 $ | $ 0 $ | $ 1 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 4 $ | …$ $ |
| $ y $ | …$ $ | $ 11 $ | $ a $ | $ 3 $ | $ 2 $ | $ 3 $ | $ 6 $ | $ 11 $ | …$ $ |
由此判断,表中 $ a = $6.

答案： 6

12. (2024·扬州月考)当 $ x = m $ 和 $ x = n ( m \neq n ) $ 时,二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 x - 5 $ 的函数值相等,当 $ x = m + n $ 时,函数 $ y = x ^ { 2 } - 2 x - 5 $ 的值为-5.

答案： - 5

13. 已知二次函数 $ y = - ( x - 2 ) ^ { 2 } + 2 $,当 $ t ＜ x ＜ 5 $ 时,y随x的增大而减小,则实数t的取值范围是2≤t ＜ 5.

答案： 2≤t ＜ 5

14. (2024·大连模拟)如图,抛物线 $ y = a x ^ { 2 } - 3 a x + 3 ( a ＜ 0 ) $ 交x轴正半轴于点A,交y轴于点B,线段 $ B D \perp y $ 轴交抛物线于点C,$ D C = \frac { 2 } { 5 } B D $,则 $ \triangle A C D $ 的面积是3.

答案： 3

15. (2024·金昌模拟)大棚果蔬产业的大力发展使得蔬菜产业逐步向科学化种植、规模化发展、产业化经营模式转变.如图是蔬菜大棚的截面示意图,其形状近似看作抛物线.其中大棚的跨径 $ A B = 10 m $,最顶端C点到保温墙AD的水平距离为4m,到地面AB的距离为3.6m.现要使得高度为1.1m的机械农具在不碰到棚顶的情况下工作(农具宽度忽略不计),则农具活动范围的宽度为____$2\sqrt{14}$m.

答案： 解：以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立直角坐标系。
则A(0,0)，B(10,0)，C(4,3.6)。
设抛物线解析式为$y=ax^2+bx+c$，将A、B、C代入得：
$\begin{cases}c=0\\100a + 10b = 0\\16a + 4b = 3.6\end{cases}$
解得$a=-0.1$，$b=1$，$c=0$，即$y=-0.1x^2 + x$。
令$y=1.1$，则$-0.1x^2 + x = 1.1$，
整理得$x^2 - 10x + 11 = 0$，
解得$x_1=5+\sqrt{14}$，$x_2=5-\sqrt{14}$。
活动范围宽度为$x_1 - x_2 = 2\sqrt{14}$。
$2\sqrt{14}\approx7.48$（m）
答案：$2\sqrt{14}$（约7.48m，精确值为$2\sqrt{14}$）

16. (贺州中考)如图,已知抛物线 $ y = a x ^ { 2 } + c $ 与直线 $ y = k x + m $ 交于 $ A ( - 3, y _ { 1 } ) $、$ B ( 1, y _ { 2 } ) $ 两点,则关于x的不等式 $ a x ^ { 2 } + k x + c \geq m $ 的解集是____-1≤x≤3.

答案： - 1≤x≤3