《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

25. (12分)新趋势 尺规作图 【概念认识】
若以三角形某边上任意一点为圆心,所作的半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上,则将符合条件且半径最大的半圆称为该边关联的极限内半圆.
如图①,点P是锐角三角形ABC的边BC上一点,以P为圆心的半圆上的所有点都在$△ABC$的内部或边上.当半径最大时,半圆P为边BC关联的极限内半圆.

【初步思考】
(1)若等边三角形ABC的边长为1,则边BC关联的极限内半圆的半径长为$\frac{\sqrt{3}}{4}$;
(2)如图②,在钝角三角形ABC中,用直尺和圆规作出边BC关联的极限内半圆(保留作图痕迹,不写作法);
【深入研究】
(3)如图③,$∠AOB= 30^{\circ }$,点C在射线OB上,$OC= 6$,点Q是射线OA上一动点.在$△QOC$中,若边OC关联的极限内半圆的半径为r,当$1≤r≤2$时,求OQ的取值范围.
当$1≤r≤2$时，$OQ\geq \sqrt{15}-\sqrt{3}$

答案：
(1) $\frac{\sqrt{3}}{4}$ 【解析】如图①，设边 BC 关联的极限内半圆与 AC 相切于点 T，连接 OT、AO.$\because OB=OC=\frac{1}{2}$，$\angle C=60^{\circ }$，$\angle OTC=90^{\circ }$，$\therefore OT=\frac{\sqrt{3}}{4}$.
(2) 如图②，半圆 O 即为所求.【解析】要作边 BC 关联的极限内半圆，如图②，过点 C 作 CT⊥BC 交 AB 于 T，作$\angle BTC$的平分线交 BC 于点 O，以 O 为圆心，OC 为半径作半圆 O.此时，半圆 O 与线段 AB、CT 相切，满足半圆上的所有点都在该三角形的内部或边上.
(3) 当 r=1 时，OQ 取得最小值.如图③，半圆 P 与 OQ、QC 分别相切于点 M、N，连接 PQ.设 QM=x，则 QN=QM=x.在$\text{Rt}\triangle OPM$中，$\because \angle OMP=90^{\circ }$，$\angle AOB=30^{\circ }$，$PM=1$，$\therefore OP=2PM=2$，$OM=\sqrt{3}PM=\sqrt{3}$，在$\text{Rt}\triangle PCN$中，$\angle PNC=90^{\circ }$，$PN=1$，$PC=4$，$\therefore CN=\sqrt{PC^{2}-PN^{2}}=\sqrt{15}$，$\therefore OQ=OM+MQ=\sqrt{3}+x$，$CQ=CN+NQ=\sqrt{15}+x$.$\because S_{\triangle OPQ}:S_{\triangle CPQ}=OP:PC=1:2$，且 PM=PN，$\therefore OQ:QC=1:2$，$\therefore QC=2OQ$，$\therefore \sqrt{15}+x=2(\sqrt{3}+x)$，解得$x=\sqrt{15}-2\sqrt{3}$，$\therefore OQ=\sqrt{15}-\sqrt{3}$.当 r=2 时，半圆 P 经过点 C.如图④，过点 C 作 OB 的垂线交 OA 于点 D.由
(2)知，当 Q 在射线 DA 上时，$\because OD=2CD=4\sqrt{3}$，$\therefore OQ\geq 4\sqrt{3}$，均符合题意.综上所述，当$1\leq r\leq 2$时，$OQ\geq \sqrt{15}-\sqrt{3}$.