《2025年学霸提优大试卷九年级数学全一册苏科版》

6. (日照中考)已知二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 的部分图像如图所示,对称轴为直线 $ x = \frac { 3 } { 2 } $,且经过点 $ ( - 1, 0 ) $.下列结论:① $ 3 a + b = 0 $;②若点 $ \left( \frac { 1 } { 2 }, y _ { 1 } \right) $,$ ( 3, y _ { 2 } ) $ 是抛物线上的两 点,则 $ y _ { 1 } ＜ y _ { 2 } $;③ $ 10 b - 3 c = 0 $;④若 $ y \leq c $,则 $ 0 \leq x \leq 3 $.其中正确的有 ( A )
A.$ 1 $ 个
B.$ 2 $ 个
C.$ 3 $ 个
D.$ 4 $ 个

答案： 1. 首先分析①：
对于二次函数$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，其对称轴公式为$x =-\frac{b}{2a}$。
已知对称轴$x=\frac{3}{2}$，即$-\frac{b}{2a}=\frac{3}{2}$，则$b=-3a$，移项可得$3a + b = 0$，所以①**正确**。
2. 然后分析②：
已知对称轴$x = \frac{3}{2}$，点$(\frac{1}{2},y_{1})$关于对称轴$x=\frac{3}{2}$的对称点的横坐标为$x = 2×\frac{3}{2}-\frac{1}{2}=\frac{6 - 1}{2}=\frac{5}{2}$。
二次函数开口向下（由图像可知$a\lt0$），在对称轴右侧$y$随$x$的增大而减小。
因为$\frac{5}{2}\lt3$，所以$y_{1}\gt y_{2}$，所以②**错误**。
3. 接着分析③：
因为函数经过点$(-1,0)$，所以$a - b + c = 0$，又$b=-3a$，则$a+3a + c = 0$，即$a=-\frac{c}{4}$。
把$a =-\frac{c}{4}$代入$b=-3a$，得$b=\frac{3c}{4}$。
计算$10b-3c$：将$b=\frac{3c}{4}$代入$10b - 3c$，$10×\frac{3c}{4}-3c=\frac{30c}{4}-3c=\frac{30c - 12c}{4}=\frac{18c}{4}\neq0$（这里也可以用对称轴和过$(-1,0)$点求函数表达式来验证：
设$y=a(x + 1)(x - 4)$（由对称轴$x=\frac{3}{2}$，与$x$轴一个交点$(-1,0)$，则另一个交点$x = 4$，因为$\frac{-1 + x}{2}=\frac{3}{2}$，解得$x = 4$），展开$y=a(x^{2}-3x - 4)=ax^{2}-3ax-4a$，$b=-3a$，$c=-4a$。
$10b-3c=10×(-3a)-3×(-4a)=-30a + 12a=-18a\neq0$（$a\neq0$），所以③**错误**。
4. 最后分析④：
当$y = c$时，$ax^{2}+bx + c=c$，即$ax^{2}+bx=0$，$x(ax + b)=0$。
因为$b=-3a$，则$x(ax-3a)=0$，$a(x^{2}-3x)=0$（$a\neq0$），$x(x - 3)=0$，解得$x = 0$或$x = 3$。
又因为$a\lt0$，二次函数$y = ax^{2}+bx + c$的图像开口向下，所以当$y\leq c$时，$x\leq0$或$x\geq3$，所以④**错误**。
综上，只有①正确，正确的个数是$1$个，答案是A。

7. 若二次函数 $ y = 2 x ^ { 2 } - a x - a + 1 $ 的图像的对称轴是 $ y $ 轴,则 $ a $ 的值是______0.

答案： 0 【解析】抛物线的对称轴为直线x=-(-a)/4=0,解得a=0.

8. 若 $ x + y = 2 $,则 $ x y + 1 $ 的最大值为2.

答案： 1. 首先，根据均值不等式：
对于任意两个实数$x$，$y$，有$x + y\geqslant2\sqrt{xy}$（当且仅当$x = y$时取等号）。
已知$x + y = 2$，则$2\geqslant2\sqrt{xy}$。
两边同时除以$2$可得$1\geqslant\sqrt{xy}$，两边平方得$xy\leqslant1$（当且仅当$x = y = 1$时取等号）。
2. 然后，求$xy + 1$的最大值：
设$t=xy + 1$，因为$xy\leqslant1$。
那么$t=xy + 1\leqslant1 + 1$。
所以$xy + 1$的最大值为$2$。

9. (盐城中考)若点 $ P ( m, n ) $ 在二次函数 $ y = x ^ { 2 } + 2 x + 2 $ 的图像上,且点 $ P $ 到 $ y $ 轴的距离小于 $ 2 $,则 $ n $ 的取值范围是1≤n＜10.

答案： 1≤n＜10 【解析】
∵点P(m,n)在二次函数y=x²+2x+2的图像上,且点P到y轴的距离小于2,
∴-2＜m＜2.要求n的取值范围,即求当-2＜x＜2时,y的取值范围.
∵y=x²+2x+2的图像的对称轴为直线x=-1,
∴当x=-1时,y有最小值1;当x=2时,y有最大值10,
∴当-2＜x＜2时,1≤y＜10,
∴n的取值范围是1≤n＜10.

10. 如图,在平面直角坐标系中,点 $ A $ 的坐标为 $ ( 0, 2 ) $,点 $ B $ 的坐标为 $ ( 4, 2 ) $.若抛物线 $ y = - \frac { 3 } { 2 } ( x - h ) ^ { 2 } + k $ ($ h $、$ k $ 为常数)与线段 $ AB $ 交于 $ C $、$ D $ 两点,且 $ C D = \frac { 1 } { 2 } A B $,则 $ k $ 的值为$\frac{7}{2}$.

答案： $\frac{7}{2}$ 【解析】
∵点A的坐标为(0,2),点B的坐标为(4,2),
∴AB=4.
∵抛物线y=$\frac{-3}{2}$(x-h)²+k(h、k为常数)与线段AB交于C、D两点,且CD=$\frac{1}{2}$AB=2,
∴设点C的坐标为(c,2),则点D的坐标为(c+2,2),h=(2c+2)/2=c+1,
∴2=$\frac{-3}{2}$[c-(c+1)]²+k,解得k=$\frac{7}{2.}$

11. 若二次函数 $ y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 $ 的图像上总有两个点在直线 $ y = x - m $ 上,则 $ m $ 的取值范围是______$m>-\dfrac{13}{4}$.

答案： m＞$\frac{-13}{4}$ 【解析】令x-m=-x²+2x+3,整理得x²-x-m-3=0.
∵二次函数的图像上总有两个点在直线y=x-m上,
∴b²-4ac＞0,即1-4(-m-3)＞0,解得m＞$\frac{-13}{4}$,故答案为m＞$\frac{-13}{4.}$

12. (菏泽中考)定义:$ [ a, b, c ] $ 为二次函数 $ y = a x ^ { 2 } + b x + c ( a \neq 0 ) $ 的特征数,下面给出特征数为 $ [ m, 1 - m, 2 - m ] $ 的二次函数的一些结论:①当 $ m = 1 $ 时,函数图像的对称轴是 $ y $ 轴;②当 $ m = 2 $ 时,函数图像过原点;③当 $ m ＞ 0 $ 时,函数有最小值;④如果 $ m ＜ 0 $,当 $ x ＞ \frac { 1 } { 2 } $ 时,$ y $ 随 $ x $ 的增大而减小.其中所有正确结论的序号是______①②③.

答案： ①②③ 【解析】当m=1时,把m=1代入[m,1-m,2-m],可得特征数为[1,0,1],
∴a=1,b=0,c=1,
∴函数表达式为y=x²+1,函数图像的对称轴是y轴,故①正确;当m=2时,把m=2代入[m,1-m,2-m],可得特征数为[2,-1,0],
∴a=2,b=-1,c=0,
∴函数表达式为y=2x²-x,当x=0时,y=0,函数图像过原点,故②正确;函数y=mx²+(1-m)x+(2-m),当m＞0时,函数y=mx²+(1-m)x+(2-m)的图像开口向上,有最小值,故③正确;当m＜0时,函数y=mx²+(1-m)x+(2-m)的图像开口向下,对称轴为直线x=-(1-m)/2m=(m-1)/2m=$\frac{1}{2}$$\frac{-1}{2}$m＞$\frac{1}{2}$,
∴当x＞$\frac{1}{2}$时,x可能在函数图像对称轴的左侧,也可能在对称轴的右侧,故不能判断其增减性,故④错误.综上所述,正确的是①②③,故答案为①②③.

13. (10 分)如图,在直角坐标系 $ x O y $ 中,二次函数 $ y = x ^ { 2 } - 3 x + k + 1 $ 的图像与 $ x $ 轴相交于 $ O $、$ A $ 两点,其中点 $ O $ 为坐标原点.
(1)求出这个二次函数的表达式;
(2)抛物线在第一象限上有一点 $ B $,使 $ \triangle A O B $ 的面积等于 $ 6 $,求点 $ B $ 的坐标.

答案： 13.
(1)将O(0,0)的坐标代入y=x²-3x+k+1,得k+1=0,
∴k=-1,
∴y=x²-3x.
(2)设B(m,m²-3m),令y=0,得x²-3x=0,
∴x₁=0,x₂=3,
∴A(3,0),则OA=3.
∵△AOB的面积为6,
∴$\frac{1}{2}$×3×(m²-3m)=6,
∴m₁=4,m₂=-1.
∵点B在第一象限,
∴B(4,4).

14. (12 分)(温州中考)已知抛物线 $ y = a x ^ { 2 } - 2 a x - 8 ( a \neq 0 ) $ 经过点 $ ( - 2, 0 ) $.
(1)求抛物线的函数表达式和顶点坐标;
(2)直线 $ l $ 交抛物线于点 $ A ( - 4, m ) $,$ B ( n, 7 ) $,$ n $ 为正数.若点 $ P $ 在抛物线上且在直线 $ l $ 下方(不与点 $ A $、$ B $ 重合),分别求出点 $ P $ 横坐标与纵坐标的取值范围.

答案： 14.
(1)把(-2,0)代入y=ax²-2ax-8得0=4a+4a-8,解得a=1,
∴抛物线的函数表达式为y=x²-2x-8.
∵y=x²-2x-8=(x-1)²-9,
∴抛物线顶点坐标为(1,-9).
(2)把x=-4代入y=x²-2x-8得y=(-4)²-2×(-4)-8=16,
∴m=16.把y=7代入y=x²-2x-8得7=x²-2x-8,解得x=5或x=-3,
∴n=5或n=-3.
∵n为正数,
∴n=5,
∴点A的坐标为(-4,16),点B的坐标为(5,7).
∵抛物线开口向上,顶点坐标为(1,-9),
∴抛物线顶点在AB下方,
∴-4＜xₚ＜5,-9≤yₚ＜16.