《2025年赢在微点物理》

【典例3】 如图所示，一质量为$m$的质点在半径为$R$的半球形容器中（容器固定）由静止开始自边缘上的$A$点滑下，到达最低点$B$时，它对容器的正压力为$F_{N}$。重力加速度为$g$，则质点自$A$滑到$B$的过程中，摩擦力对其所做的功为 （ ）

A. $\frac{1}{2}R(F_{N}-3mg)$
B. $\frac{1}{2}R(2mg - F_{N})$
C. $\frac{1}{2}R(F_{N}-mg)$
D. $\frac{1}{2}R(F_{N}-2mg)$

答案： A 解析 质点在最低点B时，由牛顿第二定律，有Fₙ - mg = m\frac{v²}{R}，质点在B点的动能为EₖB = \frac{1}{2}mv² = \frac{1}{2}(Fₙ - mg)R。质点自A滑到B的过程中，由动能定理得mgR + Wf = EₖB - 0，解得Wf = \frac{1}{2}R(Fₙ - 3mg)，故A项正确。

【典例4】 水平桌面上，长6 m的轻绳一端固定于$O$点，如图所示（俯视图），另一端系一质量$m = 2.0\ kg$的小球。现对小球施加一个沿桌面大小不变的力$F = 10\ N$，$F$拉着物体从$M$点运动到$N$点，$F$的方向始终与小球的运动方向成$37^{\circ}$角。已知小球与桌面间的动摩擦因数$\mu = 0.2$，不计空气阻力，取$g = 10\ m/s^{2}$，$\sin37^{\circ}=0.6$，$\cos37^{\circ}=0.8$，则下列说法正确的是 （ ）

A. 拉力$F$对小球做的功为$16\pi\ J$
B. 拉力$F$对小球做的功为$8\pi\ J$
C. 小球克服摩擦力做的功为$16\pi\ J$
D. 小球克服摩擦力做的功为$4\pi\ J$

答案： A 解析 将圆弧分成很多小段l₁，l₂，…，lₙ，拉力F在每小段上做的功为W₁，W₂，…，Wₙ，因拉力F大小不变，方向始终与小球的运动方向成37°角，所以W₁ = Fl₁cos 37°，W₂ = Fl₂cos 37°，Wₙ = Flₙcos 37°，故WF = W₁ + W₂ + … + Wₙ = Fcos 37°(l₁ + l₂ + … + lₙ) = Fcos 37°·\frac{πR}{3}=10×0.8×\frac{π}{3}×6 J = 16π J，A项正确，B项错误；同理可得小球克服摩擦力做的功Wf = μmg·\frac{πR}{3}=8π J，C、D两项错误。

【典例5】 如图所示，在光滑的水平面上，物块在恒力$F = 50\ N$作用下从$A$点运动到$B$点，不计滑轮的大小，不计绳、滑轮的质量及绳与滑轮间的摩擦，$H = 1.2\ m$，$\alpha = 37^{\circ}$，$\beta = 53^{\circ}$。则拉力$F$所做的功为 （ ）

A. 20 J
B. 25 J
C. 37.5 J
D. 60 J

答案： B 解析 根据几何关系可得力方向上的位移x = \frac{H}{sin α}-\frac{H}{sin β}，拉力F所做的功W = Fx，代入数据解得W = 25 J，B项正确。

【典例6】 用铁锤把小铁钉钉入木板，设木板对钉子的阻力与钉进木板的深度成正比。已知铁锤第一次将钉子钉进$d$，如果铁锤第二次敲钉子时对钉子做的功与第一次相同，那么，第二次钉子进入木板的深度为 （ ）
A. $(\sqrt{3}-1)d$
B. $(\sqrt{2}-1)d$
C. $\frac{(\sqrt{5}-1)d}{2}$
D. $\frac{\sqrt{2}}{2}d$

答案： B 解析 铁锤每次敲钉子时对钉子做的功等于钉子克服阻力做的功。由于阻力与深度成正比，可用阻力的平均值求功，据题意可得W = \overline{F₁}d = \frac{kd}{2}d，W = \overline{F₂}d' = \frac{kd + k(d + d')}{2}d'，联立解得d' = (\sqrt{2}-1)d，B项正确。