《2025年赢在微点物理》

【典例 8】两根足够长的固定的平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为$L$，导轨上面横放着两根导体棒$ab$和$cd$，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量都为$m$，接入回路的电阻都为$R$，其余电阻不计。在整个导轨平面内存在竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为$B$。设两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑动。开始时，$cd$棒静止，$ab$棒有指向$cd$棒的初速度$v_{0}$。若两导体棒在运动中始终不接触，求：
(1)$cd$棒的最大速度；
(2)在运动中产生的焦耳热最多是多少？
(3)当$ab$的速度变为初速度的$\frac{3}{4}$时，$cd$棒的加速度是多少？

答案： 答案　
(1)$\frac{v_0}{2}$　
(2)$\frac{1}{4}mv_0^{2}$　
(3)$\frac{B^{2}L^{2}v_0}{4mR}$
解析　
(1)由动量守恒定律得mv$_0$ = 2mv，所以cd棒的最大速度是v = $\frac{v_0}{2}$。
(2)根据能量守恒定律，整个过程中产生的焦耳热Q = $\frac{1}{2}mv_0^{2}-\frac{1}{2}(2m)v^{2}=\frac{1}{4}mv_0^{2}$。
(3)设ab棒的速度变为初速度的$\frac{3}{4}$时，cd棒的速度为v$_1$，则由动量守恒定律可知mv$_0$ = m$\frac{3}{4}v_0$ + mv$_1$，此时回路中的电动势和感应电流分别为E = ($\frac{3}{4}v_0 - v_1$)BL，I = $\frac{E}{2R}$，此时cd棒所受的安培力为F = BIL，由牛顿第二定律可得，cd棒的加速度a = $\frac{F}{m}$，由以上各式得a = $\frac{B^{2}L^{2}v_0}{4mR}$。