《2025年赢在微点物理》

[典例8]　(多选)若已知引力常量为G,地球表面处的重力加速度为g,地球半径为R,地球上一个昼夜的时间为T1(地球自转周期)，−年的时间为T2(地球公转周期),地球中心到月球中心的距离为L1,地球中心到太阳中心的距离为L2,下列说法正确的是　　　(　　　)
　　　　
A.地球的质量m地=$\frac{GR}{g}$
　　　　
B.太阳的质量m太=$\frac{4π²L2}{GT,2}$
　　　　
C.月球的质量m月=$\frac{4π²L}{GT,2}$
　　　　
D.地球的密度ρ地=$\frac{3g}{4πRG}$
　　　　　　　　

答案： BD　解析　根据地球表面万有引力近似等于重力，有$G\frac{m_{地}m}{R^{2}} = mg$，则$m_{地}=\frac{gR^{2}}{G}$，A项错误；根据太阳对地球的万有引力提供向心力，有$G\frac{m_{太}m_{地}}{L_{2}^{2}}=m_{地}\frac{4\pi^{2}}{T_{2}^{2}}L_{2}$，则$m_{太}=\frac{4\pi^{2}L_{2}^{3}}{GT_{2}^{2}}$，B项正确；由$m_{地}=\frac{gR^{2}}{G}$和$\rho_{地}=\frac{m_{地}}{V_{地}}$，$V_{地}=\frac{4}{3}\pi R^{3}$，可求出地球的平均密度$\rho_{地}=\frac{3g}{4\pi RG}$，D项正确；由题中数据无法求出月球的质量，C项错误。

[典例9]　(多选)(2023.海南卷)如图所示,，1、2轨道分别是“天宫二号”飞船在变轨前后的轨道，下列说法正确的是　　　　　　　　(　　　)
　　　　　　　　　　
　　　　
A.飞船从1轨道变到2轨道要点火加速
　　　　
B.飞船在1轨道的周期大于在2轨道的周期
C.飞船在1轨道的速度大于在2轨道的速度
D.飞船在1轨道的加速度大于在2轨道的加速度
　　　　　　　　

答案： ACD　解析　飞船从较低的1轨道进入较高的2轨道要进行加速做离心运动才能完成，A项正确；根据$G\frac{Mm}{r^{2}}=m\frac{v^{2}}{r}=m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r = ma$，可得$a=\frac{GM}{r^{2}}$，$v=\sqrt{\frac{GM}{r}}$，$T = 2\pi\sqrt{\frac{r^{3}}{GM}}$，飞船在1轨道的周期小于在2轨道的周期，在1轨道的速度大于在2轨道的速度，在1轨道的加速度大于在2轨道的加速度，B项错误，C、D两项正确。

[典例10]　(2023.广东卷)如图甲所示,，太阳系外的一颗行星P绕恒星Q做匀速圆周运动。由于P的遮挡,探测器探测到Q的亮度随时间做如图乙所示的周期性变化,该周期与P的公转周期相同。已知Q的质量为M,引力常量为G。关于P的公转，下列说法正确的是　　　　　　　　　　　　　　　(　　　)

A.周期为2t一t。
B.半径为G$\frac{GM(t,−t。)}{4π²}$M()
C.角速度的大小为$\frac{π}{t−to}$
D.加速度的大小为√$\frac{2πGM}{t−to}$.　　　　　　　

答案： B　解析　由题图乙可知探测器探测到Q的亮度随时间变化的周期为$T = t_{1}-t_{0}$，则P的公转周期为$t_{1}-t_{0}$，A项错误；P绕恒星Q做匀速圆周运动，由万有引力提供向心力可得$\frac{GMm}{r^{2}}=m\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r$，解得半径为$r=\sqrt[3]{\frac{GMT^{2}}{4\pi^{2}}}=\sqrt[3]{\frac{GM(t_{1}-t_{0})^{2}}{4\pi^{2}}}$，B项正确；P的角速度为$\omega=\frac{2\pi}{T}=\frac{2\pi}{t_{1}-t_{0}}$，C项错误；P的加速度大小为$a=\omega^{2}r=(\frac{2\pi}{t_{1}-t_{0}})^{2}\cdot\sqrt[3]{\frac{GM(t_{1}-t_{0})^{2}}{4\pi^{2}}}=\frac{2\pi}{t_{1}-t_{0}}\cdot\sqrt[3]{\frac{2\pi GM}{t_{1}-t_{0}}}$，D项错误。