《2025年赢在微点物理》

【典例 3】（多选）质量为$m$、带电荷量为$+q$的小球套在水平固定且足够长的粗糙绝缘杆上，
如图所示，整个装置处于磁感应强度为$B$、垂直纸面向里的水平匀强磁场中。现给小球一个水平向右的初速度$v_{0}$使其开始运动，不计空气阻力，重力加速度为$g$，则对小球从开始到最终稳定的过程，下列说法正确的是（ ）

A. 一定做减速运动
B. 运动过程中克服摩擦力做的功可能是 0
C. 最终稳定时的速度一定是$\frac{mg}{qB}$
D. 最终稳定时的速度可能是 0

答案： BD　解析　对小球受力分析，小球受竖直向下的重力、竖直向上的洛伦兹力及可能有的弹力和摩擦力。若$qv_{0}B＞mg$，则小球受竖直向下的重力、竖直向上的洛伦兹力、向下的弹力和向左的摩擦力，根据牛顿第二定律可得$qvB = mg + F_{N}$，$\mu F_{N}=ma$，解得小球的加速度$a = \frac{\mu(qvB - mg)}{m}$，方向向左，则小球做加速度减小的减速运动，最终匀速运动，匀速运动的速度$v = \frac{mg}{qB}$;若$qv_{0}B = mg$，则小球受竖直向下的重力、竖直向上的洛伦兹力，二力平衡，小球做匀速运动，匀速运动的速度$v = \frac{mg}{qB}$;若$qv_{0}B＜mg$，则小球受竖直向下的重力、竖直向上的洛伦兹力、向上的弹力和向左的摩擦力，根据牛顿第二定律可得$mg = qvB + F_{N}$，$\mu F_{N}=ma$，解得小球的加速度$a = \frac{\mu(mg - qvB)}{m}$，方向向左，则小球做加速度增大的减速运动，最终静止。综上，A、C两项错误，D项正确;小球有可能始终不受摩擦力作用，运动过程中克服摩擦力做的功可能是0，B项正确。

【典例 4】如图甲所示，宽度为$d$的竖直狭长区域内（边界为$L_{1}$、$L_{2}$），存在垂直纸面向里的匀强磁场和竖直方向的周期性变化的电场（如图乙所示），电场强度的大小为$E_{0}$，$E＞0$表示电场方向竖直向上。$t = 0$时，一带正电、质量为$m$的微粒从左边界上的$N_{1}$点以水平速度$v$射入该区域，沿直线运动到$Q$点后，做一次完整的圆周运动，再沿直线运动到右边界上的$N_{2}$点。$Q$为线段$N_{1}N_{2}$的中点，重力加速度为$g$。上述$d$、$E_{0}$、$m$、$v$、$g$为已知量。
（1）求微粒所带电荷量$q$和磁感应强度$B$的大小。
（2）求电场变化的周期$T$。
（3）改变宽度$d$，使微粒仍能按上述运动过程通过相应宽度的区域，求$T$的最小值。

答案： 答案　
(1)$\frac{mg}{E_{0}}$ $\frac{2E_{0}}{v}$
(2)$\frac{d}{2v}+\frac{\pi v}{g}$　
(3)$\frac{(2\pi + 1)v}{2g}$
解析　
(1)微粒做直线运动，则$mg + qE_{0}=qvB$，①
微粒做圆周运动，则$mg = qE_{0}$，②
联立①②得$q = \frac{mg}{E_{0}}$，③
$B = \frac{2E_{0}}{v}$。④
(2)设微粒从$N_{1}$运动到Q的时间为$t_{1}$，做圆周运动的周期为$t_{2}$，则$\frac{d}{2}=vt_{1}$，⑤
$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$，⑥
$2\pi R = vt_{2}$，⑦
联立③④⑤⑥⑦得$t_{1}=\frac{d}{2v}$，
$t_{2}=\frac{\pi v}{g}$。⑧
电场变化的周期$T = t_{1}+t_{2}=\frac{d}{2v}+\frac{\pi v}{g}$。⑨
(3)若微粒能完成题述的运动过程，要求$d\geq2R$，⑩
联立③④⑥得$R = \frac{v^{2}}{2g}$，⑪
设在$N_{1}Q$段直线运动的最短时间为$t_{1min}$，
由⑤⑩⑪得$t_{1min}=\frac{R}{v}=\frac{v}{2g}$，
因$t_{2}$不变，T的最小值为
$T_{min}=t_{1min}+t_{2}=\frac{(2\pi + 1)v}{2g}$。