《2025年赢在微点物理》

【典例 4】（粒子多次进出电场、磁场的运动）如图所示，在 y 轴右方以原点 O 为圆心、半径为 R 的半圆形区域内存在匀强磁场，磁场的方向垂直于 xOy 平面向里，磁感应强度为 B。在 y 轴左侧 -R≤y≤R 的区域内存在沿 x 轴正方向的匀强电场。x 轴上 A 点与 O 点间距为 d，一质量为 m、电荷量为 q 的带正电粒子从 x 轴上的 A 点由静止释放，经电场加速后从 O 点射入磁场，不计粒子重力。
(1)若粒子第一次经过磁场的偏转角为 60°，求粒子在磁场中运动的速度$v_1$；
(2)要使粒子经过磁场之后不再经过 y 轴，求电场强度 E 应满足的条件；
(3)若电场强度$E = \frac{qB^2R^2}{72md}$，求粒子在电磁场区域的运动时间。

答案：
答案　
(1)$\frac{qBR}{m}$　
(2)$E\geqslant\frac{qB^{2}R^{2}}{4md}$　
(3)$\frac{3\pi m}{qB}+\frac{84md}{qBR}$
解析　
(1)粒子经过磁场的偏转角为 $60^{\circ}$ ，则粒子做圆周运动的圆心角也为 $60^{\circ}$ ，其轨迹如图甲所示，由几何关系得粒子做圆周运动的半径为 $r_{1}=R$ ，由牛顿第二定律得 $qv_{1}B=\frac{mv_{1}^{2}}{r_{1}}$ ，解得 $v_{1}=\frac{qBR}{m}$ ，故粒子在磁场中运动的速度为 $\frac{qBR}{m}$ 。

(2)粒子经过磁场之后，不再经过 $y$ 轴，则粒子射出磁场时的临界速度方向为平行 $y$ 轴向上，其轨迹如图乙所示，由几何关系得 $\sqrt{2}r_{2}=R$ ，即 $r_{2}=\frac{\sqrt{2}R}{2}$ ，由牛顿第二定律得 $qv_{2}B=\frac{mv_{2}^{2}}{r_{2}}$ ，解得 $v_{2}=\frac{qBr_{2}}{m}=\frac{\sqrt{2}qBR}{2m}$ ，粒子在电场中从 $A$ 到 $O$ 过程中，由动能定理可得 $E_{min}qd=\frac{1}{2}mv_{2}^{2}$ ，解得 $E_{min}=\frac{qB^{2}R^{2}}{4md}$ ，故电场强度满足的条件为 $E\geqslant\frac{qB^{2}R^{2}}{4md}$ 。

(3)对粒子，在电场中由动能定理得 $Eqd=\frac{1}{2}mv_{3}^{2}$ ，在磁场中由牛顿第二定律得 $qv_{3}B=\frac{mv_{3}^{2}}{r_{3}}$ ，解得 $r_{3}=\frac{R}{6}$ ，粒子在电磁场区域中的运动轨迹如图丙所示，粒子在磁场中运动的周期为 $T=\frac{2\pi m}{qB}$ ，则粒子在磁场中运动时间 $t_{1}=\frac{3}{2}T=\frac{3\pi m}{qB}$ ，粒子在电场中从 $A$ 到 $O$ 做匀加速直线运动，其时间 $t_{2}=\frac{2d}{v_{3}}=\frac{12md}{qBR}$ ，粒子在电磁场区域运动的总时间 $t=t_{1}+7t_{2}=\frac{3\pi m}{qB}+\frac{84md}{qBR}$ ，故粒子在电磁场区域的运动时间为 $\frac{3\pi m}{qB}+\frac{84md}{qBR}$ 。

【典例 5】如图所示为质谱仪的示意图。电荷量和质量不同的离子从电离室 A 中“飘”出，从小孔$S_1$进入电势差恒定的加速电场中加速，然后从$S_3$垂直进入磁感应强度为 B 的匀强磁场中做匀速圆周运动，最后打在照相底片上。已知质子从静止开始被加速电场加速，经磁场偏转后打在底片上的 P 点，某二价正离子从静止开始经相同的电场加速和磁场偏转后，打在底片上的 Q 点，已知$QS_3 = 12PS_3$，则离子质量和质子质量之比为（ ）


A. 12
B. 24
C. 144
D. 288

答案： D　解析　根据动能定理 $qU=\frac{1}{2}mv^{2}$ ，在磁场中洛伦兹力提供向心力 $qvB = m\frac{v^{2}}{R}$ ，则 $R=\frac{1}{B}\sqrt{\frac{2mU}{q}}$ ，由题意 $R_{离子}=12R_{质子}$ ，$q_{离子}=2q_{质子}$ ，可得 $\frac{m_{离子}}{m_{质子}} = 288$ ，D项正确。

【典例 6】如图是质谱仪的工作原理示意图。粒子源(在加速电场上方，未画出)产生的带电粒子被加速电场加速后，进入速度选择器。速度选择器内相互正交的匀强磁场和匀强电场的强度分别为 B 和 E。平板 S 上有可让粒子通过的狭缝 P 和记录粒子位置的胶片$A_1A_2$。平板 S 下方有磁感应强度为$B_0$的匀强磁场。（不计带电粒子的重力）下列表述正确的是（ ）

A. 速度选择器中的磁场方向垂直纸面向里
B. 能通过狭缝 P 的带电粒子的速率等于$\frac{E}{B_0}$
C. 粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝 P，粒子的比荷$(\frac{q}{m})$越小
D. 粒子所带电荷量相同时，打在胶片上的位置越远离狭缝 P，表明其质量越大

答案： D　解析　根据带电粒子在磁场中的偏转方向和左手定则知，该粒子带正电，则在速度选择器中电场力水平向右，则洛伦兹力水平向左，根据左手定则知，磁场方向垂直纸面向外，A项错误；在速度选择器中，电场力和洛伦兹力平衡，有 $qE = qvB$ ，解得 $v=\frac{E}{B}$ ，能通过狭缝 $P$ 的带电粒子的速率等于 $\frac{E}{B}$ ，B项错误；粒子进入磁感应强度为 $B_{0}$ 的匀强磁场后，由洛伦兹力提供向心力，则有 $qvB_{0}=m\frac{v^{2}}{r}$ ，解得 $r=\frac{mv}{qB_{0}}=\frac{mE}{qBB_{0}}$ ，粒子打在胶片上的位置越靠近狭缝 $P$ ，粒子的轨迹半径越小，粒子的比荷 $(\frac{q}{m})$ 越大；粒子所带电荷量相同时，打在胶片上的位置越远离狭缝 $P$ ，粒子的轨迹半径越大，表明其质量越大，C项错误，D项正确。