《2025年赢在微点物理》

微点辨析
(1) 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，速度越大，轨道半径越大 （ ）
(2) 带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时，速度越大，周期越大 （ ）

答案： √
@@×

【典例3】如图所示，直线$MN$上方有垂直纸面向里的匀强磁场，电子1从磁场边界上的$a$点垂直$MN$和磁场方向射入磁场，经$t_{1}$时间从$b$点离开磁场。之后电子2也由$a$点沿图示方向以相同速率垂直磁场方向射入磁场，经$t_{2}$时间从$a$、$b$连线的中点$c$离开磁场，则$t_{1}:t_{2}$为 （ ）
A. $3:1$
B. $2:3$
C. $3:2$
D. $2:1$

答案：
A　解析　　电子在磁场中都做匀速圆周运动，根据题意画出电子的运动轨迹，如图所示，电子1垂直射进磁场，从b点离开，则运动了半个圆周，ab即为直径，c点为圆心，电子2以相同速率垂直磁场方向射入磁场,经$t_{2}$时间从a、b连线的中点c离开磁场,根据半径$r = \frac{mv}{qB}$可知，电子1和2的半径相等，根据几何关系可知，$\triangle aOc$为等边三角形，则粒子2转过的圆心角为$60^{\circ}$，所以电子1运动的时间$t_{1}=\frac{T}{2}=\frac{\pi m}{Bq}$，电子2 运动的时间$t_{2}=\frac{T}{6}=\frac{\pi m}{3Bq}$，所以$\frac{t_{1}}{t_{2}} = 3$，故A项正确。

【典例4】如图所示，匀强磁场的磁感应强度为$B$，宽度为$d$，边界为$CD$和$EF$。一电子从$CD$边界外侧以速率$v_{0}$垂直射入匀强磁场，入射方向与$CD$边界间夹角为$\theta$。已知电子的质量为$m$，电荷量为$e$，为使电子能从磁场的另一侧$EF$射出，求：
(1) 电子的速率$v_{0}$至少多大？
(2) 若$\theta$角可取任意值，$v_{0}$的最小值是多少？

答案：
答案　　
(1)$\frac{Bed}{m(1 + \cos\theta)}$
(2)$\frac{Bed}{2m}$
解析　
(1)根据题意可知，当入射速率$v_{0}$很小时，电子会在磁场中转动一段圆弧后又从CD一侧射出，速率越大，轨道半径越大，当轨道的边界与EF相切时，电子恰好不能从EF射出，如图所示，电子恰好射出时，由几何知识可得$r + r\cos\theta = d$，又有$qvB=\frac{mv^{2}}{r}$，联立解得$v_{0}=\frac{Bed}{m(1 + \cos\theta)}$，故电子要射出磁场，速率至少应为$\frac{Bed}{m(1 + \cos\theta)}$。
(2)由上述可知，当$\theta = 0^{\circ}$时，粒子的速度为$v_{0}=\frac{Bed}{2m}$，最小，此时半径最小为$r_{\min}=\frac{d}{2}$。