《2025年赢在微点物理》

【典例11】（多选）(2022·湖北卷)在如图所示的平面内，分界线$SP$将宽度为$L$的矩形区域分成两部分，一部分充满方向垂直于纸面向外的匀强磁场，另一部分充满方向垂直于纸面向里的匀强磁场，磁感应强度大小均为$B$，$SP$与磁场左右边界垂直。离子源从$S$处射入速度大小不同的正离子，离子入射方向与磁场方向垂直且与$SP$成$30^{\circ}$角。已知离子比荷为$k$，不计重力。若离子从$P$点射出，设出射方向与入射方向的夹角为$\theta$，则离子的入射速度和对应$\theta$角的可能组合为 （ ）


A. $\frac{1}{3}kBL$，$0^{\circ}$
B. $\frac{1}{2}kBL$，$0^{\circ}$
C. $kBL$，$60^{\circ}$
D. $2kBL$，$60^{\circ}$

答案：
BC　解析　若粒子通过下部分磁场直接到达P点，如图甲所示，根据几何关系有$R = L$，由$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$得$v=\frac{qBL}{m}=kBL$，根据对称性可知出射速度与SP成$30^{\circ}$角向上，故出射方向与入射方向的夹角为$\theta = 60^{\circ}$。当粒子上下均经历一次时，如图乙所示，因为上下磁感应强度均为B，则根据对称性有$R=\frac{1}{2}L$，根据洛伦兹力提供向心力有$qvB = m\frac{v^{2}}{R}$，可得$v=\frac{qBL}{2m}=\frac{1}{2}kBL$，此时出射方向与入射方向相同，即出射方向与入射方向的夹角为$\theta = 0^{\circ}$。通过以上分析可知当粒子从下部分磁场射出时，需满足$v=\frac{qBL}{(2n - 1)m}=\frac{1}{2n - 1}kBL(n = 1,2,3\cdots\cdots)$，此时出射方向与入射方向的夹角为$\theta = 60^{\circ}$；当粒子从上部分磁场射出时，需满足$v=\frac{qBL}{2nm}=\frac{1}{2n}kBL(n = 1,2,3\cdots\cdots)$，此时出射方向与入射方向的夹角为$\theta = 0^{\circ}$。综上所述，B、C 两项正确，A、D两项错误。
　　

【典例 1】（多选）如图所示，三个半径均为 R 的圆形区域Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ，圆形区域两两相切，圆心分别为$O_1$、$O_2$、$O_3$，三个圆形区域内均存在垂直纸面的匀强磁场，其中区域Ⅰ、Ⅲ内存在垂直纸面向里的匀强磁场，磁感应强度均为$B_0$，一粒子以速度$v_0$沿$O_1O_3$方向从区域Ⅰ边界进入磁场，通过三个区域后沿$O_1O_3$方向从区域Ⅲ边界射出，已知粒子电荷量为 q，质量为 m，不考虑重力，则以下说法正确的是（ ）

A. 区域Ⅱ磁场方向垂直纸面向里
B. 区域Ⅱ磁感应强度大小为$3B_0$
C. 粒子从进入磁场到离开磁场所用时间为$\frac{8\pi m}{9qB_0}$
D. 粒子在区域Ⅱ中轨道半径是在区域Ⅰ中轨道半径的 3 倍

答案：
BC　解析　根据题意，画出粒子的运动轨迹，如图所示。粒子沿 $O_{1}O_{3}$ 方向从区域Ⅰ边界进入磁场，通过三个区域后沿 $O_{1}O_{3}$ 方向从区域Ⅲ边界射出，根据左手定则，可知区域Ⅱ磁感应强度方向垂直纸面向外，A项错误；三圆心构成等边三角形，可知粒子在区域Ⅰ、Ⅲ内各转过 $60^{\circ}$ 角，由几何关系得 $\tan30^{\circ}=\frac{R}{r_{1}}$ ，在区域Ⅱ转过 $120^{\circ}$ 角，由几何关系有 $\tan60^{\circ}=\frac{R}{r_{2}}$ ，解得 $\frac{r_{1}}{r_{2}}=\frac{\tan60^{\circ}}{\tan30^{\circ}} = 3$ ，D项错误；由洛伦兹力提供向心力得轨道半径 $r=\frac{mv_{0}}{qB}$ ，所以 $\frac{B}{B_{0}}=\frac{r_{1}}{r_{2}} = 3$ ，即 $B = 3B_{0}$ ，B项正确；粒子在区域Ⅰ、Ⅲ中的运动周期相等， $T_{1}=\frac{2\pi m}{qB_{0}}$ ，粒子在区域Ⅱ中的周期 $T_{2}=\frac{2\pi m}{qB}=\frac{2\pi m}{3qB_{0}}$ ，粒子从进入磁场到离开磁场所用时间 $t = 2\times\frac{T_{1}}{6}+\frac{T_{2}}{3}=\frac{8\pi m}{9qB_{0}}$ ，C项正确。