《2025年赢在微点物理》

[典例5]　设宇宙中有一自转角速度为∞,半径为R、质量分布均匀的小行星。在小行星上用弹簧测力计称量某一质量为m的物块,在极点处弹簧测力计的示数为F，此处重力加速度大小为g1;在赤道处弹簧测力计的示数为$\frac{3}{4}$F,此处重力加速度大小为g2,则下列关系式正确的是　　　　　　　　　　　　(　　　)
A.g2=g1　　　　　　B.$\frac{1}{4}$F=mw²R
　　　　　
C.$\frac{3}{4}$F=m抄²R　　　　D.F=mw²R
　　　　　　　　

答案： B　解析　在极点处有$F = mg_{1}$，在赤道处有$\frac{3}{4}F = mg_{2}$，根据万有引力和重力的关系有$F-\frac{3}{4}F = m\omega^{2}R$，解得$g_{2}=\frac{3}{4}g_{1}$，$\frac{1}{4}F = m\omega^{2}R$，B项正确。

[典例6]　20世纪70年代，前苏联在科拉半岛与挪威的交界处进行了人类有史以来最大规模的地底挖掘计划。当苏联人向地心挖掘深度为d时,井底一个质量为m的小球与地球之间的万有引力为F，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，质量分布均匀的地球的半径为R,质量为M,引力常量为G,则F大小等于　　　　　　(　　　)
　　　　　
A.$\frac{GMm}{(R−d)²}$　　　　　B.$\frac{GMm(R−d)}{R"}$
　　　　　
C.$\frac{GMmR}{R−d}$　　　　　D.$\frac{GMm}{R?}$
　　　　　　　　

答案： B　解析　将地球分为半径为$(R - d)$的球和厚度为d的球壳两部分，球壳对小球的引力为零，则F等于半径为$(R - d)$的球对小球的引力，有$F=\frac{Gm_{1}m}{(R - d)^{2}}$。设半径为$(R - d)$的球的质量为$m_{1}$，由密度公式得$m = \rho V=\rho\frac{4}{3}\pi R^{3}$，所以$\frac{m_{1}}{M}=\frac{(R - d)^{3}}{R^{3}}$，解得F的大小为$F=\frac{GMm(R - d)}{R^{3}}$，B项正确。

[典例7]　航天员在月球表面将一片羽毛和一个铁锤从同一高度由静止同时释放，二者几乎同时落地。若羽毛和铁锤是从高度为h处下落，经时间t落到月球表面。已知引力常量为G，月球的半径为R(不考虑月球自转的影响)。求:
　　　　　(1)月球表面的自由落体加速度大小g月;
　　　　　(2)月球的质量M;
　　　　　(3)月球的密度ρ。

答案： 答案　
(1)$\frac{2h}{t^{2}}$
(2)$\frac{2hR^{2}}{Gt^{2}}$
(3)$\frac{3h}{2\pi RGt^{2}}$
解析　
(1)月球表面附近的物体做自由落体运动，有$h=\frac{1}{2}g_{月}t^{2}$，解得月球表面的自由落体加速度大小$g_{月}=\frac{2h}{t^{2}}$。
(2)不考虑月球自转的影响，有$G\frac{Mm}{R^{2}} = mg_{月}$，解得月球的质量$M=\frac{2hR^{2}}{Gt^{2}}$。
(3)月球的密度$\rho=\frac{M}{V}$，将$M=\frac{2hR^{2}}{Gt^{2}}$和$V=\frac{4}{3}\pi R^{3}$代入解得$\rho=\frac{3h}{2\pi RGt^{2}}$。