《2025年赢在微点物理》

【典例1】（2021·广东卷）算盘是我国古老的计算工具，中心带孔的相同算珠可在算盘的固定导杆上滑动，使用前算珠需要归零，如图所示，水平放置的算盘中有甲、乙两颗算珠未在归零位置，甲靠边框b，甲、乙相隔s1 = 3.5×10⁻² m，乙与边框a相隔s2 = 2.0×10⁻² m，算珠与导杆间的动摩擦因数μ = 0.1。现用手指将甲以0.4 m/s的初速度拨出，甲、乙碰撞后甲的速度大小为0.1 m/s，方向不变，碰撞时间极短且不计，重力加速度g取10 m/s²。
(1)通过计算，判断乙算珠能否滑动到边框a；
(2)求甲算珠从拨出到停下所需的时间。

答案： 答案　
(1)能　
(2)0.2 s
解析　
(1)甲、乙滑动时的加速度大小均为 $a = \mu g = 1\ m/s^{2}$，甲与乙碰前的速度 $v_{1}$，则 $v_{1}^{2}=v_{0}^{2}-2as_{1}$，解得 $v_{1}=0.3\ m/s$。甲、乙碰撞时由动量守恒定律 $mv_{1}=mv_{2}+mv_{3}$，解得碰后乙的速度 $v_{3}=0.2\ m/s$。然后乙做减速运动，当速度减为零时，则 $x = \frac{v_{3}^{2}}{2a}=\frac{0.2^{2}}{2\times1}\ m = 0.02\ m = s_{2}$，可知乙恰好能滑到边框 $a$。
(2)甲与乙碰前运动的时间 $t_{1}=\frac{v_{0}-v_{1}}{a}=\frac{0.4 - 0.3}{1}\ s = 0.1\ s$，碰后甲运动的时间 $t_{2}=\frac{v_{2}}{a}=\frac{0.1}{1}\ s = 0.1\ s$，则甲运动的总时间为 $t = t_{1}+t_{2}=0.2\ s$。

【典例2】（2023·浙江卷）为了探究物体间碰撞特性，设计了如图所示的实验装置。水平直轨道AB、CD和水平传送带平滑无缝连接，两半径均为R = 0.4 m的四分之一圆周组成的竖直细圆弧管道DEF与轨道CD和足够长的水平直轨道FG平滑相切连接。质量为3m的滑块b与质量为2m的滑块c用劲度系数k = 100 N/m的轻质弹簧连接，静置于轨道FG上。现有质量m = 0.12 kg的滑块a以初速度v0 = 2√21 m/s从D处进入，经DEF管道后，与FG上的滑块b碰撞（时间极短）。已知传送带长L = 0.8 m，以v = 2 m/s的速率顺时针转动，滑块a与传送带间的动摩擦因数μ = 0.5，其他摩擦和阻力均不计，各滑块均可视为质点，弹簧的弹性势能Ep = 1/2kx²（x为形变量）。
(1)求滑块a到达圆弧管道DEF最低点F时速度大小vF和所受支持力大小FN；
(2)若滑块a碰后返回到B点时速度vB = 1 m/s，求滑块a、b碰撞过程中损失的机械能ΔE；
(3)若滑块a碰到滑块b立即被粘住，求碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差Δx。

答案： 答案　
(1)10 m/s　31.2 N
(2)0　
(3)0.2 m
解析　
(1)滑块 $a$ 以初速度 $v_{0}$ 从 $D$ 处进入竖直圆弧轨道 $DEF$ 运动，由动能定理有 $mg\cdot2R=\frac{1}{2}mv_{F}^{2}-\frac{1}{2}mv_{0}^{2}$，解得 $v_{F}=10\ m/s$。在最低点 $F$，由牛顿第二定律有 $F_{N}-mg = m\frac{v_{F}^{2}}{R}$，解得 $F_{N}=31.2\ N$。
(2)碰撞后滑块 $a$ 返回到 $B$ 点的过程，由动能定理有 $-mg\cdot2R-\mu mgL=\frac{1}{2}mv_{B}^{2}-\frac{1}{2}mv_{a}^{2}$，解得 $v_{a}=5\ m/s$。滑块 $a$、$b$ 碰撞过程，由动量守恒定律有 $mv_{F}=-mv_{a}+3mv_{b}$，解得 $v_{b}=5\ m/s$。碰撞过程中损失的机械能 $\Delta E=\frac{1}{2}mv_{F}^{2}-\frac{1}{2}mv_{a}^{2}-\frac{1}{2}\cdot3mv_{b}^{2}=0$。
(3)滑块 $a$ 碰撞 $b$ 后立即被粘住，由动量守恒定律有 $mv_{F}=(m + 3m)v_{ab}$，解得 $v_{ab}=2.5\ m/s$。滑块 $a$、$b$ 一起向右运动，压缩弹簧，$a$、$b$ 减速运动，$c$ 加速运动，当 $a$、$b$、$c$ 三者速度相等时，弹簧长度最小，由动量守恒定律有 $(m + 3m)v_{ab}=(m + 3m+2m)v_{abc}$，解得 $v_{abc}=\frac{5}{3}\ m/s$。由机械能守恒定律有 $E_{p1}=\frac{1}{2}\times4mv_{ab}^{2}-\frac{1}{2}\times6mv_{abc}^{2}$，解得 $E_{p1}=0.5\ J$。由 $E_{p1}=\frac{1}{2}kx_{1}^{2}$，解得最大压缩量 $x_{1}=0.1\ m$。滑块 $a$、$b$ 一起继续向右运动，弹簧弹力使 $c$ 继续加速，使 $a$、$b$ 继续减速，当弹簧弹力减小到零时，$c$ 速度最大，$a$、$b$ 速度最小；滑块 $a$、$b$ 一起再继续向右运动，弹簧弹力使 $c$ 减速，$a$、$b$ 加速，当 $a$、$b$、$c$ 三者速度相等时，弹簧长度最大，其对应的弹性势能与弹簧长度最小时弹性势能相等，由弹簧的弹性势能公式可知最大伸长量 $x_{2}=0.1\ m$，所以碰撞后弹簧最大长度与最小长度之差 $\Delta x=x_{1}+x_{2}=0.2\ m$。