《2025年赢在微点物理》

[典例3] （2022·辽宁卷）如图所示，光滑水平面AB和竖直面内的光滑$\frac{1}{4}$圆弧导轨在B点平滑连接，导轨半径为R。质量为m的带正电小球将轻质弹簧压缩至A点后由静止释放，脱离弹簧后经过B点时的速度大小为$\sqrt{gR}$，之后沿轨道BO运动。以O为坐标原点建立直角坐标系xOy，在x≥ - R区域有方向与x轴夹角为θ = 45°的匀强电场，进入电场后小球受到的电场力大小为$\sqrt{2}mg$。小球在运动过程中电荷量保持不变，重力加速度为g。求：
（1）弹簧压缩至A点时的弹性势能；
（2）小球经过O点时的速度大小；
（3）小球过O点后运动的轨迹方程。

答案： 答案　
(1)$\frac{1}{2}mgR$
(2)$\sqrt{3gR}$
(3)$y^{2} = 6Rx$
解析　
(1)小球从A到B，根据能量守恒定律得$E_{p} = \frac{1}{2}mv_{B}^{2} = \frac{1}{2}mgR$。
(2)小球从B到O，根据动能定理有
$-mgR + qE\cdot\sqrt{2}R = \frac{1}{2}mv_{O}^{2} - \frac{1}{2}mv_{B}^{2}$，
解得$v_{O} = \sqrt{3gR}$。
(3)小球运动至O点时速度竖直向上，受电场力和重力作用，将电场力分解到x轴和y轴，则x轴方向有$qE\cos45^{\circ} = ma_{x}$，竖直方向有$qE\sin45^{\circ} - mg = ma_{y}$，
解得$a_{x} = g$，$a_{y} = 0$，
说明小球从O点开始以后的运动为x轴方向做初速度为零的匀加速直线运动，y轴方向做匀速直线运动，即做类平抛运动，则有$x = \frac{1}{2}gt^{2}$，$y = v_{O}t$，
联立解得小球过O点后运动的轨迹方程$y^{2} = 6Rx$。

[典例4] 如图所示，ABD为竖直平面内的光滑绝缘轨道，其中AB段是水平的，BD段为半径R = 0.2 m的半圆，两段轨道相切于B点，整个轨道处在竖直向下的匀强电场中，场强大小E = 5.0×10³ V/m。一不带电的绝缘小球甲，以速度v₀沿水平轨道向右运动，与静止在B点带正电的小球乙发生弹性碰撞，甲、乙两球碰撞后，乙恰能通过轨道的最高点D。已知甲、乙两球的质量均为m = 1.0×10⁻² kg，乙所带电荷量q = 2.0×10⁻⁵ C，g取10 m/s²。（水平轨道足够长，甲、乙两球可视为质点，整个运动过程中甲不带电，乙电荷无转移）求：
（1）乙在轨道上的首次落点到B点的距离；
（2）碰撞前甲的速度v₀的大小。

答案： 答案　
(1)0.4 m
(2)$2\sqrt{5}$ m/s
解析　
(1)设乙到达最高点D时的速度为$v_{D}$，乙离开D点到达水平轨道的时间为t，乙的落点到B点的距离为x，
则$mg + qE = m\frac{v_{D}^{2}}{R}$，①
$2R = \frac{1}{2}(\frac{mg + qE}{m})t^{2}$，②
$x = v_{D}t$，③
联立①②③得$x = 0.4$ m。④
(2)设碰撞后甲、乙的速度分别为$v_{甲}$、$v_{乙}$，根据动量守恒定律和碰撞前后动能相等得$mv_{0} = mv_{甲} + mv_{乙}$，⑤
$\frac{1}{2}mv_{0}^{2} = \frac{1}{2}mv_{甲}^{2} + \frac{1}{2}mv_{乙}^{2}$，⑥
联立⑤⑥得$v_{乙} = v_{0}$，⑦
乙从B到D过程，由动能定理得
$-mg\cdot2R - qE\cdot2R = \frac{1}{2}mv_{D}^{2} - \frac{1}{2}mv_{乙}^{2}$，⑧
联立①⑦⑧得$v_{0} = 2\sqrt{5}$ m/s。