《2025年赢在微点物理》

【典例3】（2023·全国乙卷）如图，一竖直固定的长直圆管内有一质量为M的静止薄圆盘，圆盘与管的上端口距离为l，圆管长度为20l。一质量为m = 1/3M的小球从管的上端口由静止下落，并撞在圆盘中心，圆盘向下滑动，所受滑动摩擦力与其所受重力大小相等。小球在管内运动时与管壁不接触，圆盘始终水平，小球与圆盘发生的碰撞均为弹性碰撞且碰撞时间极短。不计空气阻力，重力加速度大小为g。求：
(1)第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小；
(2)在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球与圆盘间的最远距离；
(3)圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数。

答案： 解　
(1)设碰撞前瞬间小球的速度为 $v$，碰后小球及圆盘的速度分别为 $v_{1}$、$v_{2}$，取竖直向下为正方向，对碰撞前小球自由落体的过程，由动能定理得 $mgl=\frac{1}{2}mv^{2}$，解得 $v = \sqrt{2gl}$。小球和圆盘碰撞过程满足动量守恒定律和机械能守恒定律，有 $mv=mv_{1}+Mv_{2}$，$\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}mv_{1}^{2}+\frac{1}{2}Mv_{2}^{2}$，又 $m=\frac{1}{3}M$，联立解得 $v_{1}=-\frac{\sqrt{2gl}}{2}$，$v_{2}=\frac{\sqrt{2gl}}{2}$，所以第一次碰撞后瞬间小球和圆盘的速度大小均为 $\frac{\sqrt{2gl}}{2}$。
(2)在第一次碰撞到第二次碰撞之间，小球先向上做匀减速直线运动，到最高点再向下做匀加速直线运动，圆盘一直向下做匀速直线运动，当小球速度向下且与圆盘速度相等时，两物体间距最大，设此过程所经历的时间为 $t$，对小球，由匀变速直线运动公式得 $\frac{\sqrt{2gl}}{2}=-\frac{\sqrt{2gl}}{2}+gt$，解得 $t=\sqrt{\frac{2l}{g}}$。由竖直上抛运动的对称性知，此时小球又回到了与圆盘第一次碰撞的位置，故圆盘下落的距离就是此时两物体的间距，也是在第一次碰撞到第二次碰撞之间两物体的最远距离，为 $s_{max}=v_{2}t=\frac{\sqrt{2gl}}{2}\times\sqrt{\frac{2l}{g}}=l$。
(3)设小球和圆盘从第一次碰撞后瞬间到第二次碰撞前瞬间经历的时间为 $t_{1}$，有 $v_{2}t_{1}=v_{1}t_{1}+\frac{1}{2}gt_{1}^{2}$，解得 $t_{1}=2\sqrt{\frac{2l}{g}}$。在这段时间内，圆盘下落的距离为 $y_{1}=v_{2}t_{1}=2l$。设小球第二次与圆盘碰撞前瞬间速度为 $v'$，则 $v'=v_{1}+gt_{1}=\frac{3\sqrt{2gl}}{2}$。设第二次碰后小球和圆盘的速度分别为 $v_{1}'$、$v_{2}'$，小球和圆盘碰撞过程满足动量守恒和系统机械能守恒，有 $mv'+Mv_{2}=mv_{1}'+Mv_{2}'$，$\frac{1}{2}mv'^{2}+\frac{1}{2}Mv_{2}^{2}=\frac{1}{2}mv_{1}'^{2}+\frac{1}{2}Mv_{2}'^{2}$，解得 $v_{1}' = 0$，$v_{2}'=\sqrt{2gl}$。设小球和圆盘从第二次碰撞后瞬间到第三次碰撞前瞬间经历的时间为 $t_{2}$，有 $\frac{1}{2}gt_{2}^{2}=v_{2}'t_{2}$，解得 $t_{2}=2\sqrt{\frac{2l}{g}}$。在这段时间内圆盘下降的距离为 $y_{2}=v_{2}'t_{2}=4l$。同理，小球第三次与圆盘碰撞前瞬间速度为 $v''=gt_{2}=2\sqrt{2gl}$。小球与圆盘发生第三次碰撞，由动量守恒和系统机械能守恒有 $mv''+Mv_{2}'=mv_{1}''+Mv_{2}''$，$\frac{1}{2}mv''^{2}+\frac{1}{2}Mv_{2}'^{2}=\frac{1}{2}mv_{1}''^{2}+\frac{1}{2}Mv_{2}''^{2}$，解得 $v_{1}''=\frac{\sqrt{2gl}}{2}$，$v_{2}''=\frac{3\sqrt{2gl}}{2}$。设经过 $t_{3}$，两物体发生第四次碰撞，有 $v_{1}''t_{3}+\frac{1}{2}gt_{3}^{2}=v_{2}''t_{3}$，解得 $t_{3}=2\sqrt{\frac{2l}{g}}$。在这段时间里，圆盘下降的距离为 $y_{3}=v_{2}''t_{3}=6l$。由数学归纳法知，以后每次碰撞间隔时间均为 $2\sqrt{\frac{2l}{g}}$。在这段时间内圆盘下降的距离比上次碰撞间隔内下降的距离增加 $2l$，所以从第四次碰撞后瞬间到第五次碰撞前瞬间，圆盘下降的距离为 $8l$，若圆盘始终在管内运动，则从第一次碰撞后瞬间到第五次碰撞前瞬间，圆盘下降的距离为 $y = 2l+4l+6l+8l = 20l＞19l$，故此时圆盘已经滑出长直管，不会在管内发生第五次碰撞，所以圆盘在管内运动过程中，小球与圆盘碰撞的次数为 4 次。