《2025年赢在微点物理》

【典例5】 如图所示，一条小船从A处码头过河，小船在静水中的速度为v，船头指向始终与河岸垂直(沿AA'方向)。当水流速度为v1时，小船运动到河对岸B处的码头靠岸，AB与河岸的夹角为α = 60°。当水流速度为v2时，小船运动到河对岸C处的码头靠岸，AC与河岸的夹角为β = 30°。下列说法正确的是 （ ）

A. 小船沿AB、AC过河的时间相等
B. 小船沿AC过河的时间更长
C. $v_{1}:v_{2}=1:2$
D. 当水流速度为v1时，要使小船到达A'处码头，船头应指向河的上游且与河岸夹角为60°

答案： A 解析 因船头始终垂直于河岸，可知船过河的时间为$t=\frac{d}{v}$，即小船沿AB、AC过河的时间相等，A项正确，B项错误；由题意可知$\tan60^{\circ}=\frac{v}{v_{1}}$，$\tan30^{\circ}=\frac{v}{v_{2}}$，解得$v_{1}:v_{2}=1:3$，C项错误；当水流速度为$v_{1}$时，要使小船到达$A'$处码头，则合速度应该垂直河对岸，船头应指向河的上游且与河岸夹角为$\theta$，且有$\cos\theta=\frac{v_{1}}{v}=\frac{\sqrt{3}}{3}$，则$\theta\neq60^{\circ}$，D项错误。

【典例6】 如图，某条河宽为600 m，河水流速恒为$v_{1}=3\ m/s$，小船在静水中的运动速度大小为$v_{2}=4\ m/s$，小船可视为质点。则 （ ）


A. 船的最短渡河时间为120 s
B. 若船以最短时间渡河，渡河位移大小为600 m
C. 船的最短渡河位移大小为600 m
D. 若船以最短位移渡河，渡河时间为150 s

答案： C 解析 当船头指向正对岸，船渡河时间最短，时间为$t_{min}=\frac{d}{v_{2}} = 150\ s$，A项错误；若船以最短时间渡河，渡河位移大小为$x=\sqrt{d^{2}+(v_{1}t_{min})^{2}} = 750\ m$，B项错误；因为$v_{2}＞v_{1}$，所以渡河的最短位移大小为河宽600 m，C项正确；若船以最短位移渡河，渡河时间为$t=\frac{d}{\sqrt{v_{2}^{2}-v_{1}^{2}}}=\frac{600\sqrt{7}}{7}\ s$，D项错误。

【典例7】 一艘小船在静水中的速度为$v_{1}=3\ m/s$，渡过一条宽150 m、水流速度为$v_{2}=4\ m/s$的河流，则该小船 （ ）
A. 能到达正对岸
B. 渡河的时间可能少于50 s
C. 以最短位移渡河时，位移大小为200 m
D. 以最短时间渡河时，沿水流方向的位移大小为250 m

答案： C 解析 因为船在静水中的速度小于河水的流速，由平行四边形定则求合速度不可能垂直河岸，小船不可能垂直河岸到达正对岸，A项错误；当船在静水中的速度垂直河岸时渡河时间最短$t_{min}=\frac{d}{v_{1}}=\frac{150}{3}\ s = 50\ s$，B项错误；当船头的方向与合速度的方向垂直时，对应的位移最小，设此时合速度的方向与河岸之间的夹角是$\theta$，则$\sin\theta=\frac{v_{1}}{v_{2}}=\frac{3}{4}$，所以最短位移$s=\frac{d}{\sin\theta}=\frac{150}{\frac{3}{4}}\ m = 200\ m$，C项正确；船以最短时间50 s渡河时，沿河岸的位移$x = v_{2}t_{min}=4×50\ m = 200\ m$，D项错误。