《2025年赢在微点物理》

【典例 5】如图所示，两根电阻不计的光滑金属导轨平行放置在倾角为$\theta$的斜面上，导轨间距为$L$，导轨下端接有电阻$R$，磁感应强度为$B$的匀强磁场垂直于斜面向上，电阻可忽略不计的金属棒$ab$质量为$m$，受到沿斜面向上且与金属棒垂直的恒力$F$的作用，金属棒沿导轨以速度$v$匀速上滑，则它在上滑$h$高度的过程中，以下说法正确的是（ ）

A. 安培力对金属棒所做的功为$W = \frac{B^{2}L^{2}h}{R\sin\theta}$
B. 金属棒克服安培力做的功等于回路中产生的焦耳热
C. 拉力$F$做的功等于回路中增加的焦耳热
D. 金属棒克服重力做的功等于恒力$F$做功

答案： B　解析　根据左手定则和运动分析可判断此过程安培力做负功，A项错误；由功能关系可知，金属棒克服安培力做的功等于回路中产生的焦耳热，B项正确；由功能关系可知，拉力做的功等于回路中焦耳热与金属棒重力势能增量之和，C项错误；由动能定理可知，克服重力和安培力做的功等于恒力F做功，故金属棒克服重力做的功小于恒力F的功，D项错误。

【典例 6】如图所示，固定在水平面上的光滑平行金属导轨$MN$、$PQ$，间距$L = 1\ m$，$M$、$P$之间及$N$、$Q$之间各连接一阻值为$R = 2\ \Omega$的定值电阻，整个装置处于磁感应强度$B = 2\ T$的竖直向下的匀强磁场中，质量$m = 1\ kg$、阻值$r = 1\ \Omega$的金属棒$ab$垂直放置在平行导轨上，现对$ab$施加水平外力$F = 6\ N$使其由静止开始向右运动，经过一段时间达到最大速度，之后撤去拉力$F$，金属棒运动过程中始终与导轨接触良好，其余电阻不计。求：
(1)$MP$间的最大电压；
(2)撤去拉力后金属棒前进的最大距离；
(3)撤去拉力后，两电阻$R$上产生的热量。

答案： 答案　
(1)3V　
(2)1.5m　
(3)2.25J
解析　
(1)金属棒速度最大时，受力平衡，根据平衡条件F = F$_安$ = BIL，I = $\frac{F}{BL}$，MP间和NQ间的电阻并联，则有R$_并$ = $\frac{R}{2}$，MP间的最大电压为U = IR$_并$ = 3V。
(2)金属棒达到最大速度v$_m$时，产生的感应电动势为E = BLv$_m$，回路中的电流为I = \frac{E}{R_并 + r}，撤去拉力后由动量定理可得 - B$\overline{I}$LΔt = 0 - mv$_m$，设金属棒前进的最大距离为x，则有$\overline{I}$ = \frac{BLx}{\Delta t(R_并 + r)}，联立解得x = 1.5m。
(3)设撤去拉力后电路中产生的热量为Q，由能量守恒定律可得Q = $\frac{1}{2}mv$_m$²，两电阻R中产生的热量为Q$_R$ = $\frac{R$_并$}{r + R$_并$}Q$，代入数据解得Q$_R$ = 2.25J。

【典例 7】如图所示，足够长、间距为$L$的平行光滑金属导轨$ab$、$de$构成倾角为$\theta$的斜面，上端接有阻值为$R$的定值电阻，足够长的平行光滑金属导轨$bc$、$ef$处于同一水平面内，倾斜导轨与水平导轨在$b$、$e$处平滑连接，且$b$、$e$处装有感应开关。倾斜导轨处于垂直导轨平面向上的匀强磁场中，水平导轨处于竖直向上的匀强磁场中，磁感应强度大小均为$B$。距离$b$足够远处接有未闭合的开关$S$，在开关$S$右侧垂直导轨放置导体棒$N$，在倾斜导轨上距$b$、$e$足够远的位置放置导体棒$M$，现将导体棒$M$由静止释放，当导体棒$M$通过$b$、$e$处后瞬间感应开关自动断开。已知导体棒$M$的质量为$m$，电阻为$R$，导体棒$N$的质量为$2m$，电阻为$2R$，两导体棒运动过程中始终与导轨接触良好且与导轨垂直，重力加速度为$g$，不计导轨电阻及空气阻力。
(1) 保持开关$S$断开，求导体棒$M$通过感应开关前瞬间的速度大小；
(2) 若固定导体棒$N$，导体棒$M$通过感应开关后瞬间闭合开关$S$，求导体棒$M$在水平导轨上运动的位移；
(3) 若不固定导体棒$N$，导体棒$M$通过感应开关后瞬间闭合开关$S$，求导体棒$N$上产生的焦耳热。

答案： 答案　
(1)$\frac{2mgR\sin\theta}{B^{2}L^{2}}$　
(2)$\frac{6m^{2}gR^{2}\sin\theta}{B^{4}L^{4}}$　
(3)$\frac{8m^{3}g^{2}R^{2}\sin^{2}\theta}{9B^{4}L^{4}}$
解析　
(1)由题意可知导体棒M到达b、e 前已做匀速直线运动，由法拉第电磁感应定律得E = BLv，由闭合电路欧姆定律得I = $\frac{E}{2R}$，由平衡条件得mgsinθ = BIL，解得v = $\frac{2mgR\sin\theta}{B^{2}L^{2}}$。
(2)若固定导体棒N，导体棒M通过感应开关后瞬间闭合开关S，导体棒M、N构成回路，最终导体棒M静止，由法拉第电磁感应定律得$\overline{E}$ = $\frac{BL\Delta x}{\Delta t}$，由闭合电路欧姆定律得$\overline{I}$ = $\frac{\overline{E}}{3R}$，对导体棒M，由动量定理得 - B$\overline{I}$LΔt = 0 - mv，解得Δx = $\frac{6m^{2}gR^{2}\sin\theta}{B^{4}L^{4}}$。
(3)若不固定导体棒N，导体棒M通过感应开关后瞬间闭合开关S，导体棒M、N 组成的系统动量守恒，最终它们共速，则mv = 3mv$_共$，由能量守恒定律得$\frac{1}{2}mv^{2}=\frac{1}{2}\times3mv$_共$² + Q，导体棒N上产生的焦耳热为Q$_N$ = $\frac{2R}{R + 2R}Q$，解得Q$_N$ = $\frac{8m^{3}g^{2}R^{2}\sin^{2}\theta}{9B^{4}L^{4}}$。