《2025年高考帮高中物理》

命题拓展
[轻绳→轻杆模型]若将轻绳换成轻杆，其F - v²图像如图所示. 已知杆长为R，不计空气阻力，则 （ ）

A. 当地的重力加速度大小为$\frac{R}{b}$
B. 小球的质量为$\frac{bR}{a}$
C. 当v² = c时，杆对小球的弹力方向向上
D. 当v² = 2b时，小球受到的弹力与重力大小相等

答案： D 由图乙可知，当$v^{2}=b$时，杆对小球的弹力为 0，有$mg = m\frac{v^{2}}{R}$，则重力加速度$g = \frac{v^{2}}{R}=\frac{b}{R}$，故 A 错误；当小球速度$v＜\sqrt{gR}$时，弹力为支持力，方向向上，由牛顿第二定律得$mg - F = m\frac{v^{2}}{R}$，因此有$F = mg - m\frac{v^{2}}{R}$，此时图线的斜率为$-\frac{a}{b}=-\frac{m}{R}$，则$m = \frac{aR}{b}$，故 B 错误；当$v^{2}=c＞b$时，杆对小球的弹力为拉力，方向向下，故 C 错误；当$v^{2}=2b$时，弹力方向向下，因此有$mg + F = m\frac{v^{2}}{R}$，与$v^{2}=b$时相比较，得杆对小球弹力的大小为$mg$，故 D 正确。

5.[最高点“杆”的作用力方向可变/多选]如图所示，竖直面内有一个半径为R的光滑圆管道，现给小球一个初速度，使小球在管道内做圆周运动，管道很细，则关于小球在最高点时的速度v，下列叙述正确的是 （ ）


A. v的最小值为$\sqrt{gR}$
B. 当v由零逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大
C. 当v由$\sqrt{gR}$逐渐增大时，在最高点管道对小球的弹力也逐渐增大
D. 当v由$\sqrt{gR}$逐渐减小时，在最高点管道对小球的弹力逐渐增大

答案： CD 小球在最高点时，管道对小球的作用力可以向上，也可以向下，所以 v 的最小值为零，故 A 错误。在最高点，当$v = \sqrt{gR}$时，根据牛顿第二定律得$mg - F_{N}=\frac{mv^{2}}{R}$，可得管道对小球的作用力$F_{N}=0$；当$v＜\sqrt{gR}$时，管道对小球的作用力方向向上，根据牛顿第二定律得$mg - F_{N}=m\frac{v^{2}}{R}$，当 v 由$\sqrt{gR}$逐渐减小时，管道对小球的弹力逐渐增大；当$v＞\sqrt{gR}$时，管道对小球的作用力方向向下，根据牛顿第二定律得$mg + F_{N}=m\frac{v^{2}}{R}$，当 v 由$\sqrt{gR}$逐渐增大时，管道对小球的弹力也逐渐增大，故 B 错误，C、D 正确。

6.[竖直面内圆周运动的实际应用]如图所示是某游乐场中水上过山车的原理示意图. 半径为R = 8 m的圆轨道竖直固定在离水面高h = 3.2 m的水平平台上，圆轨道与水平平台相切于A点，A、B分别为圆轨道的最低点和最高点. 过山车（实际是一艘带轮子的气垫小船，可视为质点）高速行驶，先后会通过多个圆轨道，然后从A点离开圆轨道进入光滑的水平轨道AC，最后从C点水平飞出落入水中，整个过程刺激惊险，受到很多年轻人的喜爱. 已知水面宽度为s = 12 m，不计空气阻力，重力加速度g取10 m/s².（结果可保留根号）
（1）若过山车恰好能通过圆轨道的最高点B，则其在B点的速度为多大？
（2）为使过山车安全落入水中，则过山车在C点的最大速度为多少？
（3）某次运动过程中乘客在圆轨道最低点A对座椅的压力为自身重力的3倍，随后进入水平轨道AC并落入水中，求过山车落入水中时的速度大小.

答案：
(1)$4\sqrt{5}\ m/s$
(2)$15\ m/s$
(3)$4\sqrt{14}\ m/s$ 解析
(1)过山车恰好能过最高点时，只受重力作用，有$mg = m\frac{v_{B}^{2}}{R}$，则$v_{B}=\sqrt{gR}=4\sqrt{5}\ m/s$
(2)过山车离开 C 点后做平抛运动，有$h=\frac{1}{2}gt^{2}$，解得运动时间为$t = \sqrt{\frac{2h}{g}} = 0.8\ s$，故最大速度为$v_{max}=\frac{s}{t}=15\ m/s$
(3)在圆轨道最低点有$F_{N}-m'g = m'\frac{v_{A}^{2}}{R}$，由牛顿第三定律得$F_{N}=3m'g$，解得$v_{A}=\sqrt{2gR}=4\sqrt{10}\ m/s$，落入水中时竖直速度为$v_{y}=gt = 8\ m/s$，则落地时的速度为$v=\sqrt{v_{A}^{2}+v_{y}^{2}}=4\sqrt{14}\ m/s$。