《2025年高考帮高中物理》

8.[2024 山东日照高三校联考开学考试/多选]2023 年 6 月 21 日，国际学术期刊《自然》刊载：“中国天眼 FAST”发现了一个名为 PSRJ1953 + 1844(M71E)的双星系统，其轨道周期仅为 53 分钟，是目前发现轨道周期最短的脉冲星双星系统. 假设双星系统中两颗脉冲星在演化过程中，质量较大的脉冲星不断“吸食”质量较小的脉冲星，直至完全吞并. 某双星系统中的两颗脉冲星$a$和$b$的质量分别为$m_{1}$、$m_{2}$，其中$m_{2} = 14m_{1}$，轨道周期为$T$，万有引力常量为$G$. 根据提供的信息，下列说法正确的是 （ ）


A. 两颗脉冲星的距离为$\sqrt[3]{\frac{G(m_{1} + m_{2})T^{2}}{4\pi^{2}}}$
B. 脉冲星$a$的线速度大小为$\frac{14}{15}\sqrt[3]{\frac{2\pi G(m_{1} + m_{2})}{T}}$
C. 脉冲星$b$的密度为$\frac{3\pi}{GT^{2}}$
D. 若在演化过程中双星间的距离保持不变，则双星间的引力逐渐减小

答案：  8. ABD 两颗脉冲星 a 和 b 构成双星系统，两颗脉冲星的角速度和周期相同，设两者间距离为 L，轨道半径分别为$r_{1}$、$r_{2}$，有$G\frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{1}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r_{1}$，$G\frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}} = m_{2}\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}r_{2}$，$r_{1} + r_{2} = L$，联立解得$L = \sqrt[3]{\frac{G(m_{1} + m_{2})T^{2}}{4\pi^{2}}}$，故 A 正确；根据$m_{2} = 14m_{1}$，可得$\frac{m_{2}}{m_{1}} = \frac{r_{1}}{r_{2}} = \frac{14}{1}$，可得$r_{1} = \frac{14}{15}L$，则脉冲星 a 的线速度大小为$v_{1} = \frac{2\pi}{T} \cdot r_{1} = \frac{14}{15}\sqrt[3]{\frac{2\pi G(m_{1} + m_{2})}{T}}$，故 B 正确；因脉冲星 b 的半径未知，故无法求出其密度，故 C 错误；若在演化过程中双星间的距离 L 保持不变，而质量较大的脉冲星不断“吸食”质量较小的脉冲星，直至完全吞并，则两颗脉冲星的质量乘积逐渐减小，故双星间的引力$F = G\frac{m_{1}m_{2}}{L^{2}}$会逐渐减小，D 正确。

9.[三星系统/多选]太空中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统，通常可忽略其他星体对它们的引力作用. 已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式(如图所示)：一种是三颗星位于同一直线上，两颗星围绕中央星在同一半径为$R$的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个顶点上，并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行. 设这三颗星的质量均为$M$，并设两种系统的运动周期相同，则 （ ）

A. 直线三星系统中甲星和丙星的线速度相同
B. 直线三星系统的运动周期$T = 4\pi R\sqrt{\frac{R}{5GM}}$
C. 三角形三星系统中星体间的距离$L = \sqrt[3]{\frac{12}{5}}R$
D. 三角形三星系统的线速度大小为$\frac{1}{2}\sqrt{\frac{5GM}{R}}$

答案： 9. BC 直线三星系统中甲星和丙星的线速度大小相同，方向相反，A 错误；直线三星系统中，对甲星（或丙星）有$G\frac{M^{2}}{R^{2}} + G\frac{M^{2}}{(2R)^{2}} = M\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}R$，解得$T = 4\pi R\sqrt{\frac{R}{5GM}}$，B 正确；对三角形三星系统，根据万有引力定律和牛顿第二定律得$2G\frac{M^{2}}{L^{2}}\cos30^{\circ} = M\frac{4\pi^{2}}{T^{2}} \cdot \frac{L}{2\cos30^{\circ}}$，联立解得$L = \sqrt[3]{\frac{12}{5}}R$，C 正确；三角形三星系统的线速度大小为$v = \frac{2\pi r}{T} = \frac{2\pi\frac{L}{2\cos30^{\circ}}}{T}$，联立解得$v = \frac{\sqrt{3}}{6} \cdot \sqrt[3]{\frac{12}{5}} \cdot \sqrt{\frac{5GM}{R}}$，D 错误。