《2025年高考帮高中物理》

6.[同一轨道上的能量/多选] 如图所示，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，$P$为近日点，$Q$为远日点，$M、N$为轨道短轴的两个端点，运行的周期为$T_{0}$，若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从$P$点经过$M、Q$到$N$点的运动过程中，下列说法正确的是 （ ）

A. 从$P$点到$M$点所用的时间等于$\frac{T_{0}}{4}$
B. 从$Q$点到$N$点过程中，机械能逐渐变大
C. 从$P$点到$Q$点过程中，速率逐渐变小
D. 从$M$点到$N$点过程中，万有引力对它先做负功后做正功

答案：  6. CD 海王星在 PM 段的速度大小大于在 MQ 段的速度大小，则 PM 段所用的时间小于 MQ 段，所以从 P 点到 M 点所用的时间小于$\frac{T_{0}}{4}$，故 A 错误；从 Q 点到 N 点的过程中，由于只有万有引力做功，机械能守恒，故 B 错误；从 P 点到 Q 点的过程中，万有引力做负功，速率减小，故 C 正确；根据万有引力方向与速度方向的关系知，从 M 点到 N 点的过程中，万有引力对海王星先做负功后做正功，故 D 正确。

7.[不同轨道上的能量] 如图为我国发射北斗卫星的示意图，先将卫星发射到半径为$r_{1}=r$的圆轨道上做匀速圆周运动，到$A$点时使卫星加速进入椭圆轨道，到椭圆轨道的远地点$B$点时，再次改变卫星的速度，使卫星进入半径为$r_{2}=2r$的圆轨道上做匀速圆周运动. 已知卫星在椭圆轨道时距地心的距离与速度的乘积为定值，卫星在椭圆轨道上$A$点时的速度为$v$，卫星的质量为$m$，地球质量为$M$，引力常量为$G$，则发动机在$A$点对卫星做的功与在$B$点对卫星做的功之差为（不计卫星的质量变化） （ ）

A. $\frac{3}{4}mv^{2}+\frac{3GMm}{4r}$
B. $\frac{3}{4}mv^{2}-\frac{3GMm}{4r}$
C. $\frac{5}{8}mv^{2}+\frac{3GMm}{4r}$
D. $\frac{5}{8}mv^{2}-\frac{3GMm}{4r}$

答案：  7. D 当卫星在$r_{1} = r$的圆轨道上运行时，有$G\frac{Mm}{r^{2}} = m\frac{v_{0}^{2}}{r}$，解得在圆轨道上运行时通过 A 点的速度为$v_{0} = \sqrt{\frac{GM}{r}}$，所以发动机在 A 点对卫星做的功为$W_{1} = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{1}{2}mv_{0}^{2} = \frac{1}{2}mv^{2} - \frac{GMm}{2r}$；当卫星在$r_{2} = 2r$的圆轨道上运行时，有$G\frac{Mm}{(2r)^{2}} = m\frac{v_{0}'^{2}}{2r}$，解得在圆轨道上运行时通过 B 点的速度为$v_{0}' = \sqrt{\frac{GM}{2r}}$，而根据题意可知在椭圆轨道上通过 B 点时的速度为$v_{1} = \frac{r_{1}}{r_{2}}v = \frac{1}{2}v$，故发动机在 B 点对卫星做的功为$W_{2} = \frac{1}{2}mv_{0}'^{2} - \frac{1}{2}mv_{1}^{2} = \frac{GMm}{4r} - \frac{1}{8}mv^{2}$，所以$W_{1} - W_{2} = \frac{5}{8}mv^{2} - \frac{3GMm}{4r}$，D 正确。