《2025年高考帮高中物理》

7.假设地球是一半径为$R$、质量分布均匀的球体. 一矿井深度为$d$，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为 （ ）
A. $1 - \frac{d}{R}$
B. $1 + \frac{d}{R}$
C. $(\frac{R - d}{R})^{2}$
D. $(\frac{R}{R - d})^{2}$

答案： 7. A 物体在地面上时的重力加速度可由$mg = G\frac{\rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}m}{R^{2}}$得出。根据题中条件，球壳对其内部物体的引力为零，可知从地面到矿井底部的环形部分对矿井底部物体的引力为零，故对矿井底部物体产生引力作用部分的地球的半径为$R - d$，矿井底部处重力加速度可由$mg' = G\frac{\rho\cdot\frac{4}{3}\pi (R - d)^{3}m}{(R - d)^{2}}$得出，故$\frac{g'}{g} = \frac{R - d}{R}$，A正确。

[多选]若题设条件不变，下列有关物理过程说法正确的有 （ ）
A. 矿井底部和地面高$h$处的重力加速度大小之比为$\frac{(R - d)(R + h)^{2}}{R^{3}}$
B. 从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做匀速直线运动
C. 如果将小球放入地心，由万有引力定律公式计算引力巨大，会将小球拉碎
D. 从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做加速度逐渐减小的加速运动

答案： 【命题拓展】 AD 地球的质量$M = \rho V_{球} = \rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}$，根据万有引力定律，可知在地面高$h$处有$mg_{1} = \frac{GMm}{(R + h)^{2}}$，可得$g_{1} = \frac{GM}{(R + h)^{2}}$。根据题意，可知矿井底部，对矿井底部物体产生引力作用部分的地球的质量为$M_{1} = \rho V_{球}' = \rho\cdot\frac{4}{3}\pi (R - d)^{3}$，则有$mg_{2} = \frac{GM_{1}m}{(R - d)^{2}}$，可得$g_{2} = \frac{GM_{1}}{(R - d)^{2}}$，则有$\frac{g_{2}}{g_{1}} = \frac{(R - d)(R + h)^{2}}{R^{3}}$，A正确；靠近地心时重力加速度逐渐减小，所以从井口由静止释放一个小球，小球沿着井做加速度逐渐减小的加速运动，B错误，D正确；万有引力定律公式成立的条件是两个物体可以看作质点，如果将小球放入地心，公式将不再成立，C错误。

4. 1798 年英国物理学家卡文迪什测出引力常量$G$，因此卡文迪什被人们称为“能称出地球质量的人”.
（1）若已知引力常量$G = 6.67\times10^{-11}\ N\cdot m^{2}/kg^{2}$，重力加速度$g$取$9.8\ m/s^{2}$，地球半径$R = 6.4\times10^{6}\ m$，地球质量是________.（保留 1 位有效数字）
（2）若有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的 4 倍，则该星球的质量是地球质量的________倍.

答案：  4.
(1)$6×10^{24}kg$
(2)64 解析
(1)根据万有引力等于重力，有$G\frac{Mm}{R^2} = mg$，则$M = \frac{gR^2}{G} = \frac{9.8×(6.4×10^{6})^{2}}{6.67×10^{-11}}kg = 6×10^{24}kg$。
(2)根据$GM = gR^2$，其中$M = \rho\cdot\frac{4}{3}\pi R^{3}$，得$g = \frac{4}{3}\rho G\pi R$，该星球表面处的重力加速度是地球表面处重力加速度的4倍，星球的密度跟地球的密度相同，所以该星球的半径是地球的4倍，该星球的质量是地球质量的64倍。