《2025年高考帮高中物理》

6.[宇宙速度与重力加速度综合考查/2023湖南]根据宇宙大爆炸理论，密度较大区域的物质在万有引力作用下，不断聚集可能形成恒星. 恒星最终的归宿与其质量有关，如果质量为太阳质量的1~8倍将坍缩成白矮星，质量为太阳质量的10~20倍将坍缩成中子星，质量更大的恒星将坍缩成黑洞. 设恒星坍缩前后可看成质量均匀分布的球体，质量不变，体积缩小，自转变快. 不考虑恒星与其他物体的相互作用. 已知逃逸速度为第一宇宙速度的$\sqrt{2}$倍，中子星密度大于白矮星. 根据万有引力理论，下列说法正确的是（ ）
A. 同一恒星表面任意位置的重力加速度相同
B. 恒星坍缩后表面两极处的重力加速度比坍缩前的大
C. 恒星坍缩前后的第一宇宙速度不变
D. 中子星的逃逸速度小于白矮星的逃逸速度

答案：
6.B 恒星自转→万有引力$F_{万}\begin{cases}自转效果：F_{向}\\重力效果：mg\end{cases}$ 从赤道到两极$F_{向}=m\omega^{2}r\xrightarrow{r\downarrow}F_{向}\downarrow$，$mg\uparrow$，A错 两极$\frac{GMm}{R^{2}} = mg_{极}\xrightarrow{坍缩后}g_{极}=\frac{GM}{R^{2}}$，$M$不变，$V\downarrow$，$R\downarrow$，$g_{极}\uparrow$，B对 第一宇宙速度$\frac{GMm}{R^{2}} = m\frac{v^{2}}{R}\to v=\sqrt{\frac{GM}{R}}$，$R\downarrow$，$v\uparrow$，C错 逃逸速度$v'=\sqrt{2}v=\sqrt{\frac{2GM}{R}}$，$M = \rho V$，$V=\frac{4\pi R^{3}}{3}$，$v'=(\frac{32}{3}\pi G^{3}M^{2}\rho)^{\frac{1}{6}}$，中子星的$M$、$\rho$均大→D错

7.[相距最近或最远分析/2023 湖北]2022 年 12 月 8 日，地球恰好运行到火星和太阳之间，且三者几乎排成一条直线，此现象被称为“火星冲日”. 火星和地球几乎在同一平面内沿同一方向绕太阳做圆周运动，火星与地球的公转轨道半径之比约为 3:2，如图所示. 根据以上信息可以得出 （ ）


A. 火星与地球绕太阳运动的周期之比约为 27:8
B. 当火星与地球相距最远时，两者的相对速度最大
C. 火星与地球表面的自由落体加速度大小之比约为 9:4
D. 下一次“火星冲日”将出现在 2023 年 12 月 8 日之前

答案： 7.B $\frac{r_{火}^{3}}{r_{地}^{3}}=\frac{T_{火}^{2}}{T_{地}^{2}}\to\frac{T_{火}}{T_{地}}=\frac{3\sqrt{3}}{2\sqrt{2}}$，A错 $\frac{r_{火}}{r_{地}}=\frac{3}{2}$ 下一次冲日有$(\frac{2\pi}{T_{地}}-\frac{2\pi}{T_{火}})t = 2\pi\to t=\frac{T_{火}T_{地}}{T_{火}-T_{地}}＞T_{地}$→下次火星冲日在2023年12月8日之后，D错 火星与地球相距最远时→两者速度反向→两者相对速度最大，B对 $\frac{GMm}{R^{2}} = mg\to g=\frac{GM}{R^{2}}$，$M_{火}$、$M_{地}$未知→不能求$g$之比，C错

8.[不在同一轨道平面的“相遇”/2023 重庆/多选]某卫星绕地心的运动视为匀速圆周运动，其周期为地球自转周期$T$的$\frac{3}{10}$，运行的轨道与地球赤道不共面，如图所示. $t_0$时刻，卫星恰好经过地球赤道上$P$点正上方. 地球的质量为$M$，半径为$R$，引力常量为$G$. 则 （ ）

A. 卫星距地面的高度为$(\frac{GMT^2}{4\pi^2})^{\frac{1}{3}} - R$
B. 卫星与位于$P$点处物体的向心加速度大小比值为$\frac{5}{9\pi R}(180\pi GMT^2)^{\frac{1}{3}}$
C. 从$t_0$时刻到下一次卫星经过$P$点正上方时，卫星绕地心转过的角度为$20\pi$
D. 每次经最短时间实现卫星距$P$点最近到最远的行程，卫星绕地心转过的角度比地球的多$7\pi$

答案： 8.BCD 对卫星由万有引力提供向心力有$G\frac{Mm}{(R + h)^{2}} = m\frac{4\pi^{2}}{(\frac{3}{10}T)^{2}}(R + h)$，解得$h = (\frac{9GMT^{2}}{400\pi^{2}})^{\frac{1}{3}}-R$，A错误；对卫星有$m\frac{4\pi^{2}}{(\frac{3}{10}T)^{2}}(R + h) = ma$，对地球赤道上$P$点处的物体有$m'\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}R = m'a'$，联立解得$\frac{a}{a'}=\frac{5}{9\pi R}(180\pi GMT^{2})^{\frac{1}{3}}$【点拨：在求比值时，可以先约分，再代入求解，简化运算量】，B正确；设从$t_{0}$时刻到卫星经过$P$点正上方的时间为$t$，假设下一次卫星经过$P$点正上方时是在地球的另一侧关于球心对称的位置，则卫星运动的圈数和地球运动的圈数均为整数圈加半圈，又地球运动的半周期为$0.5T$，卫星运动的半周期为$0.15T$，则有$\frac{t}{0.5T}=2k - 1$，$\frac{t}{0.15T}=2k' - 1$，$k$、$k'$均为正整数，联立得$6k' = 20k - 7$，显然假设不成立，故下一次卫星经过$P$点正上方时还是在$t_{0}$时刻的位置，则卫星运动的圈数和地球运动的圈数均为整数圈，又地球运动的周期为$T$，卫星运动的周期为$0.3T$，则有$\frac{t}{T}=n$，$\frac{0.3T}{T}=n'$，$n$、$n'$均为正整数，联立得$3n' = 10n$，得最小的满足条件的$n' = 10$，即从$t_{0}$时刻到下一次卫星经过$P$点正上方的过程，卫星运动了10圈，所以卫星绕地心转过的角度为$\theta = 10\times2\pi = 20\pi$，C正确；设实现卫星距$P$点最近到最远的时间为$t'$，则有$\frac{t'}{0.5T}=2n_{1} - 1$、$\frac{t'}{0.3T}=n_{2}$或$\frac{t'}{T}=n_{3}$、$\frac{t'}{0.15T}=2n_{4} - 1$，$n_{1}$、$n_{2}$、$n_{3}$、$n_{4}$均为正整数，解得最小的满足条件的$n_{1}=2$、$n_{2}=5$，此时$t' = 1.5T$，即实现卫星距$P$点最近到最远的最短时间为$1.5T$，故卫星绕地心转过的角度比地球的多$2\pi(\frac{t'}{0.3T}-\frac{t'}{T}) = 7\pi$，D正确。