《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例1 如图，在四边形ABCD中，AD//BC，∠ABD=30°，AB=AD，DC⊥BC。若BD=2，求CD的长。

CD = 1.

答案： CD = 1.

1. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD是高。若∠A=30°，AB=4，则BD的长为1。

答案： 1

2. 如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC＜AC，点D，E分别在边AB，BC上，连接DE，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为B'。若点B'刚好落在边AC上，∠CB'E=30°，CE=3，则BC的长为______9。

答案： 9

3. 如图，在Rt△ABC中，CM平分∠ACB交AB于点M，过点M作MN//BC交AC于点N，且MN平分∠AMC。若AN=1，则BC的长为______6。

答案： 6

例2 如图，在等边△ABC中，AE=CD，AD，BE相交于点P，BQ⊥AD于点Q。试说明：BP=2PQ。

解：在等边△ABC中，AB=AC，∠BAC=∠C=60°。在△ABE和△CAD中，$\begin{cases}AB=AC\\\angle BAE=\angle C\\AE=CD\end{cases}$，根据SAS定理，可得△ABE≌△CAD。由△ABE≌△CAD，可得∠ABE=∠CAD。根据三角形外角性质，∠BPQ=∠ABE+∠BAP，又因为∠ABE=∠CAD，所以∠BPQ=∠CAD+∠BAP=∠BAC=60°。因为BQ⊥AD，所以∠BQP=90°。在Rt△BPQ中，∠PBQ=180°-∠BQP-∠BPQ=180°-90°-60°=30°。根据直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，可得BP=2PQ。

答案： 【解析】：
- 首先证明$\triangle ABE\cong\triangle CAD$：
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = AC$，$\angle BAC=\angle C = 60^{\circ}$。
在$\triangle ABE$和$\triangle CAD$中，$\begin{cases}AB = AC\\\angle BAE=\angle C\\AE = CD\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理，可得$\triangle ABE\cong\triangle CAD$。
然后求$\angle BPQ$的度数：
由$\triangle ABE\cong\triangle CAD$，可得$\angle ABE=\angle CAD$。
根据三角形外角性质，$\angle BPQ=\angle ABE+\angle BAP$，又因为$\angle ABE=\angle CAD$，所以$\angle BPQ=\angle CAD+\angle BAP=\angle BAC = 60^{\circ}$。
最后在$Rt\triangle BPQ$中求$BP$与$PQ$的关系：
因为$BQ\perp AD$，所以$\angle BQP = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle BPQ$中，$\angle PBQ=180^{\circ}-\angle BQP - \angle BPQ=180^{\circ}-90^{\circ}-60^{\circ}=30^{\circ}$。
根据直角三角形中$30^{\circ}$所对的直角边是斜边的一半，可得$BP = 2PQ$。
【答案】：在等边$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC=\angle C = 60^{\circ}$，通过$SAS$证$\triangle ABE\cong\triangle CAD$得$\angle ABE=\angle CAD$，由外角性质得$\angle BPQ = 60^{\circ}$，在$Rt\triangle BPQ$中，$\angle PBQ = 30^{\circ}$，根据直角三角形性质得$BP = 2PQ$。