《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

4. 【问题背景】
(1) 如图①，在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$\angle BAD = 120^{\circ}$，$\angle B=\angle ADC = 90^{\circ}$，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$上的点，且$\angle EAF = 60^{\circ}$。探究图中线段$BE$，$EF$，$FD$之间的数量关系。
小明同学探究此问题的方法是，延长$FD$到点$G$，使$DG = BE$，连接$AG$，先证明$\triangle ABE\cong\triangle ADG$，再证明$\triangle AEF\cong\triangle AGF$，可得出结论，他的结论应是$BE + FD = EF$；
【灵活运用】
(2) 如图②，若在四边形$ABCD$中，$AB = AD$，$\angle B+\angle D = 180^{\circ}$，$E$，$F$分别是$BC$，$CD$上的点，且$\angle EAF=\frac{1}{2}\angle BAD$，上述结论是否仍然成立，请说明理由；
【探索延伸】
(3) 如图③，已知在四边形$ABCD$中，$\angle ABC+\angle ADC = 180^{\circ}$，$AB = AD$，若点$E$在$CB$的延长线上，点$F$在$CD$的延长线上，且满足$EF = BE + FD$，请直接写出$\angle EAF$与$\angle DAB$的数量关系。$∠EAF = 180^{\circ} - \frac{1}{2}∠DAB$

答案：
(1)$BE + FD = EF$；
(2)$BE + FD = EF$仍然成立. 理由略.
(3)$∠EAF = 180^{\circ} - \frac{1}{2}∠DAB$.