《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例3 已知点$A(2a - b,5 + a)$，$B(2b - 1,-a + b)$。
（1）若点$A$，$B$关于$x$轴对称，则$a =$$-8$，$b =$$-5$；
（2）若点$A$，$B$关于$y$轴对称，则$(4a + b)^{2025}$的值为$-1$。

答案：
(1)$-8$；$-5$；
(2)$-1$

例4 如图，在$\triangle ABC$中，$EF$垂直平分$AC$，交$BC$于点$E$，交$AC$于点$F$，$D$是$BE$的中点，连接$AD$，$AE$。若$AB = AE$，$\angle BAD = 24^{\circ}$，求$\angle C$的度数。

答案： 解：
因为$D$是$BE$的中点，$AB = AE$，根据等腰三角形三线合一性质，$AD\perp BE$（等腰三角形底边上的中线、底边上的高、顶角平分线三线合一）。
已知$\angle BAD = 24^{\circ}$，在$Rt\triangle ABD$中，$\angle B=90^{\circ}-\angle BAD = 90^{\circ}- 24^{\circ}=66^{\circ}$。
因为$EF$垂直平分$AC$，所以$AE = CE$，则$\angle C=\angle EAC$。
又因为$AB = AE$，所以$\angle AEB=\angle B = 66^{\circ}$。
根据三角形外角性质，$\angle AEB=\angle C+\angle EAC$（三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和），且$\angle C=\angle EAC$。
所以$\angle C=\frac{1}{2}\angle AEB$，即$\angle C = 33^{\circ}$。
综上，$\angle C$的度数为$33^{\circ}$。

例5 如图，在$\triangle ABC$中，$BA = BC$，$D$为$BC$上一点，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp BC$，交$AC$于点$F$。
（1）若$\angle AFD = 160^{\circ}$，求$\angle A$的度数；
（2）若$F$是$AC$的中点，求证：$\angle CFD=\frac{1}{2}\angle ABC$。

答案： （1）解：
因为$\angle AFD = 160^{\circ}$，根据邻补角的定义，$\angle DFC=180^{\circ}-\angle AFD$，所以$\angle DFC = 180 - 160=20^{\circ}$。
又因为$DF\perp BC$，$DE\perp AB$，所以$\angle FDC = 90^{\circ}$，$\angle BED = 90^{\circ}$。
在$\triangle DFC$中，根据三角形内角和定理$\angle C+\angle DFC+\angle FDC = 180^{\circ}$，则$\angle C=180^{\circ}-\angle FDC - \angle DFC$，把$\angle FDC = 90^{\circ}$，$\angle DFC = 20^{\circ}$代入可得$\angle C=70^{\circ}$。
因为$BA = BC$，根据等腰三角形的性质：等腰三角形的两个底角相等，即$\angle A=\angle C$。
所以$\angle A = 70^{\circ}$。
（2）证明：
连接$BF$。
因为$BA = BC$，$F$是$AC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质（等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线互相重合），所以$BF\perp AC$，$\angle ABF=\angle CBF=\frac{1}{2}\angle ABC$。
所以$\angle BFC = 90^{\circ}$，则$\angle CBF+\angle C = 90^{\circ}$。
又因为$\angle FDC = 90^{\circ}$，所以$\angle DFC+\angle C = 90^{\circ}$。
根据同角的余角相等，可得$\angle CFD=\angle CBF$。
所以$\angle CFD=\frac{1}{2}\angle ABC$。
综上，（1）$\angle A = 70^{\circ}$；（2）证明过程如上述。

例6 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$BC = 4$，$\triangle ABC$的面积是$20$，$AC$的垂直平分线$EF$分别交$AC$，$AB$边于点$E$，$F$。若$D$为$BC$边的中点，$M$为线段$EF$上一动点，求出$\triangle CDM$周长的最小值。

答案： 1. 首先，根据三角形面积公式求$AC$边上的高：
已知$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot h = 20$，$BC = 4$，由三角形面积公式$S=\frac{1}{2}ah$（$a$为底，$h$为高），可得$\frac{1}{2}×4× h = 20$，解得$h = 10$。
因为$AB = AC$，$D$为$BC$中点，根据等腰三角形三线合一性质，$AD\perp BC$，$BD = CD=\frac{1}{2}BC = 2$。
2. 然后，利用垂直平分线的性质：
因为$EF$是$AC$的垂直平分线，所以$MA = MC$（垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）。
则$\triangle CDM$的周长$C = CD + DM+MC$，把$MC = MA$代入得$C = CD + DM + MA$。
根据两点之间线段最短，当$M$在线段$AD$上时，$DM + MA$取得最小值，即$DM + MA$的最小值为$AD$的长。
3. 接着，求$AD$的长：
在$Rt\triangle ABD$中，根据勾股定理$AD=\sqrt{AB^{2}-BD^{2}}$，又$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD = 20$，$BC = 4$，所以$AD = 10$。
4. 最后，求$\triangle CDM$周长的最小值：
已知$CD = 2$，$\triangle CDM$周长$C = CD + DM+MC=CD+(DM + MA)$。
所以$\triangle CDM$周长的最小值为$CD + AD$。
把$CD = 2$，$AD = 10$代入得$C_{\min}=2 + 10=12$。
解：因为$AB = AC$，$D$为$BC$中点，所以$AD\perp BC$（等腰三角形三线合一），由$S_{\triangle ABC}=\frac{1}{2}BC\cdot AD$，$BC = 4$，$S_{\triangle ABC}=20$，可得$\frac{1}{2}×4× AD = 20$，解得$AD = 10$。
又因为$EF$是$AC$的垂直平分线，所以$MA = MC$。
$\triangle CDM$的周长$C = CD + DM+MC=CD + DM + MA$。
根据两点之间线段最短，当$M$在$AD$上时，$DM + MA$最小，最小值为$AD$。
已知$CD=\frac{1}{2}BC = 2$，所以$\triangle CDM$周长的最小值为$CD + AD=2 + 10 = 12$。
故$\triangle CDM$周长的最小值为$12$。

1. 下面四幅图是我国传统文化与艺术中的经典图案，其中不是轴对称图形的是（D）

答案： D