《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

因式分解的定义
把一个多项式化为几个整式的积的形式，像这样的式子的变形，叫作这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。
注：(1)因式分解是多项式的恒等变形，要求等式左边必须是多项式；
(2)因式分解的结果是整式的积的形式；
(3)因式分解应分解到每一个多项式都不能再分解为止；
(4)因式分解与整式乘法是两种方向相反的变形。如：$ma + mb + mc = m(a + b + c)$，从左到右是因式分解，从右到左是整式乘法；
(5)并非所有的多项式都能因式分解。

答案： 【解析】：1. 因式分解的定义就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，所以第一个空应填“整式的积”。2. 因式分解的结果必然是整式的积的形式，故第二个空填“整式的积”。3. 因式分解要分解到每一个多项式都不能再分解为止，所以第三个空填“都不能再分解”。4. 对于$ma + mb + mc = m(a + b + c)$，从左到右是把多项式化为整式积的形式，是因式分解；从右到左是把整式的积化为多项式，是整式乘法，所以第四、五个空分别填“因式分解”“整式乘法”。
【答案】：整式的积 整式的积 都不能再分解 因式分解 整式乘法

例1 下列从左到右的变形中，是因式分解的是____③。(填序号)
①$a(x + y) = ax + ay$；
②$x^{2} + 2xy + y^{2} - 1 = x(x + 2y) + (y + 1)(y - 1)$；
③$x^{2} - 4 = (x + 2)(x - 2)$；
④$x^{2} - y^{2} - 1 = (x + y)(x - y) - 1$；
⑤$x^{2} - 2x + 2y - y^{2} = (x^{2} - y^{2}) - 2(x - y)$。

答案： ③

1. (2024重庆一外期中)下列等式从左到右的变形，属于因式分解的是 (B)
A. $(x + y)^{2} = x^{2} + 2xy + y^{2}$
B. $x^{2}y - xy^{2} = xy(x - y)$
C. $x^{2} + x - 5 = (x - 2)(x + 3) + 1$
D. $a^{4} + 1 = (a^{2} - 1)(a^{2} + 1)$

答案： B

2. 下列等式从左到右的变形，不是因式分解的是 (C)
A. $x^{2} - y^{2} = (x + y)(x - y)$
B. $a^{2} + 4ab + 4b^{2} = (a + 2b)^{2}$
C. $a^{2} - 2a + 1 = a(a - 2) + 1$
D. $ma + mb - mc = m(a + b - c)$

答案： C

例2 阅读材料：
例题：已知二次三项式$x^{2} - 4x + m$分解因式后有一个因式是$x + 3$，求另一个因式及$m$的值。
解：设另一个因式为$x + n$。根据题意，得
$x^{2} - 4x + m = (x + 3)(x + n)$，
则$x^{2} - 4x + m = x^{2} + (n + 3)x + 3n$，
$\therefore \left\{\begin{array}{l}n + 3 = - 4,\\ 3n = m,\end{array}\right.$解得$\left\{\begin{array}{l}n = - 7,\\ m = - 21,\end{array}\right.$
$\therefore$另一个因式为$x - 7$，$m$的值为$-21$。
解答问题：
已知二次三项式$2x^{2} + 3x - k$分解因式后有一个因式是$x - 5$，求另一个因式及$k$的值。
$\therefore$另一个因式为$2x + 13$，$k$的值为65。

答案： 另一个因式为 $2x + 13$，$k$ 的值为 65.