《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

8. 如图①，$P$，$Q$分别是边长为$4cm$的等边$\triangle ABC$边$AB$，$BC$上的动点，点$P$，$Q$分别从顶点$A$，$B$同时出发，且它们的速度都为$1cm/s$。

(1)连接$AQ$，$CP$交于点$M$，则在点$P$，$Q$运动的过程中，$\angle CMQ$的度数变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数；不变，$\angle CMQ=60^{\circ}$
(2)何时$\triangle PBQ$是直角三角形？第$\frac{4}{3}$秒或第$\frac{8}{3}$秒时，$\triangle PBQ$是直角三角形
(3)如图②，若点$P$，$Q$在运动到终点后继续在射线$AB$，$BC$上运动，直线$AQ$，$CP$交于点$M$，则$\angle CMQ$的度数变化吗？若变化，则说明理由；若不变，则求出它的度数。不变，$\angle CMQ=120^{\circ}$

答案： （1）
解：$\angle CMQ$的度数不变。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = AC$，$\angle B=\angle CAP = 60^{\circ}$。
又因为点$P$，$Q$的速度都为$1cm/s$，运动时间都为$t s$，则$AP = BQ=t$。
在$\triangle ABQ$和$\triangle CAP$中，$\begin{cases}AB = CA\\\angle B=\angle CAP\\BQ = AP\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABQ\cong\triangle CAP$。
所以$\angle BAQ=\angle ACP$。
因为$\angle CMQ=\angle ACP+\angle CAM$，所以$\angle CMQ=\angle BAQ+\angle CAM=\angle BAC$。
而$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle CMQ = 60^{\circ}$。
（2）
解：设运动时间为$t s$，则$AP = BQ=t$，$PB=(4 - t)cm$。
当$\angle PQB = 90^{\circ}$时，因为$\angle B = 60^{\circ}$，所以$\angle BPQ = 30^{\circ}$，则$PB = 2BQ$，即$4 - t = 2t$，解得$t=\frac{4}{3}$。
当$\angle BPQ = 90^{\circ}$时，因为$\angle B = 60^{\circ}$，所以$\angle BQP = 30^{\circ}$，则$BQ = 2PB$，即$t = 2(4 - t)$，解得$t=\frac{8}{3}$。
所以当$t=\frac{4}{3}s$或$t=\frac{8}{3}s$时，$\triangle PBQ$是直角三角形。
（3）
解：$\angle CMQ$的度数不变。
因为$\triangle ABC$是等边三角形，所以$AB = AC$，$\angle ABC=\angle BAC = 60^{\circ}$，则$\angle ABP=\angle CAQ = 120^{\circ}$。
又因为$AP = BQ$（点$P$，$Q$速度相同，运动时间相同），在$\triangle ABP$和$\triangle CAQ$中，$\begin{cases}AB = CA\\\angle ABP=\angle CAQ\\BP = AQ\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABP\cong\triangle CAQ$。
所以$\angle BAP=\angle ACQ$。
因为$\angle CMQ=\angle ACQ+\angle CAM$，所以$\angle CMQ=\angle BAP+\angle CAM=\angle BAC$。
而$\angle BAC = 60^{\circ}$，所以$\angle CMQ = 120^{\circ}$。
综上，（1）$\angle CMQ$度数不变，为$60^{\circ}$；（2）$t=\frac{4}{3}s$或$t=\frac{8}{3}s$；（3）$\angle CMQ$度数不变，为$120^{\circ}$。

9. 如图，$\triangle APB$与$\triangle CDP$是两个全等的等边三角形，且$PA\perp PD$。有下列三个结论：
①$\angle PBC = 15^{\circ}$；
②$AD// BC$；
③直线$PC$与$AB$垂直。
其中正确的有（D）

A. 0个
B. 1个
C. 2个
D. 3个

答案： D

10. 如图，在$\triangle ACD$中，$P$是$CD$的中点，$B$是$AD$延长线上一点，连接$BC$，$AP$，过点$D$作$DE// AC$，交$AP$的延长线于点$E$。若$\angle CAD = 60^{\circ}$，$BD = AC$，求证：$BC = 2AP$。

答案： 证明：
∵$DE// AC$，
∴$\angle CAP=\angle DEP$。
∵$P$是$CD$的中点，
∴$CP = DP$，且$\angle CPA=\angle DPE$（对顶角相等）。
∴$\triangle CPA\cong\triangle DPE$（AAS）。
∴$AP = EP$，$AC = DE$。
∵$BD = AC$，
∴$BD = DE$。
∵$\angle CAD = 60^{\circ}$，$DE// AC$，
∴$\angle ADE=\angle CAD = 60^{\circ}$。
∴$\triangle BDE$是等边三角形，则$BE = BD$。
∵$BD = AC$，
∴$BE = AC$。
∵$AP = EP$，
∴$AE = 2AP$。
∵$AC = BE$，$\angle CAD=\angle BDE = 60^{\circ}$，$AD = ED$，
∴$\triangle ACD\cong\triangle EBD$（SAS）。
∴$BC = AE$，而$AE = 2AP$，
∴$BC = 2AP$。