《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

概念：能够完全重合的两个三角形
性质：对应边、对应角、对应周长、对应面积都相等
全等三角形的判定
一般三角形：SAS，ASA，AAS，SSS
直角三角形：HL，SSS，SAS，ASA，AAS
尺规作图
用作一个角等于已知角
用作平行线
用作三角形
角平分线的性质与判定
性质：角平分线上的点到角两边的距离相等
判定：到角两边距离相等的点在角平分线上

答案： 完全重合；相等
相等 相等

例1 如图，已知 $ \text{Rt} \triangle ABC \cong \text{Rt} \triangle ADE $，$ \angle ABC = \angle ADE = 90^\circ $，$ BC $ 与 $ DE $ 相交于点 $ F $，连接 $ CD $，$ EB $。求证：$ CF = EF $。

证明：
1. 因为$\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle ADE$，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以$AC = AE$，$AD = AB$，$\angle CAB=\angle EAD$。
2. 那么$\angle CAB-\angle DAB=\angle EAD - \angle DAB$，即$\angle CAD=\angle EAB$。
3. 在$\triangle CAD$和$\triangle EAB$中：
$AC = AE$（已证）；
$\angle CAD=\angle EAB$（已证）；
$AD = AB$（已证）。
根据SAS判定定理，可得$\triangle CAD\cong\triangle EAB$。
由全等三角形的性质可知$\angle ACD=\angle AEB$。
4. 又因为$AC = AE$，所以$\angle ACE=\angle AEC$。
5. 那么$\angle ACE-\angle ACD=\angle AEC - \angle AEB$，即$\angle FCE=\angle FEC$。
6. 在$\triangle CEF$中，因为$\angle FCE=\angle FEC$，根据等角对等边，所以$CF = EF$。

答案： 【解析】：
1. 因为$\text{Rt}\triangle ABC\cong\text{Rt}\triangle ADE$，根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，对应角相等，所以$AC = AE$，$AD = AB$，$\angle CAB=\angle EAD$。
2. 那么$\angle CAB-\angle DAB=\angle EAD - \angle DAB$，即$\angle CAD=\angle EAB$。
3. 在$\triangle CAD$和$\triangle EAB$中：
$AC = AE$（已证）；
$\angle CAD=\angle EAB$（已证）；
$AD = AB$（已证）。
根据“边角边”（SAS）判定定理，可得$\triangle CAD\cong\triangle EAB$。
由全等三角形的性质可知$\angle ACD=\angle AEB$。
4. 又因为$AC = AE$，所以$\angle ACE=\angle AEC$。
5. 那么$\angle ACE-\angle ACD=\angle AEC - \angle AEB$，即$\angle FCE=\angle FEC$。
6. 在$\triangle CEF$中，因为$\angle FCE=\angle FEC$，根据等角对等边，所以$CF = EF$。
【答案】：通过证明$\triangle CAD\cong\triangle EAB$得到$\angle ACD=\angle AEB$，再结合$AC = AE$推出$\angle FCE=\angle FEC$，根据等角对等边得出$CF = EF$。

例2 如图，在 $ \triangle ABC $ 中，点 $ D $ 在 $ BC $ 边上，$ \angle BAD = 100^\circ $，$ \angle ABC $ 的平分线交 $ AC $ 于点 $ E $，过点 $ E $ 作 $ EF \perp AB $，垂足为 $ F $，且 $ \angle AEF = 50^\circ $，连接 $ DE $。
(1) 求证：$ DE $ 平分 $ \angle ADC $；证明略
(2) 若 $ AB = 7 $，$ AD = 4 $，$ CD = 8 $，且 $ S_{\triangle ACD} = 15 $，求 $ \triangle ABE $ 的面积。$ \frac{35}{4} $

答案：
(1)证明略.
(2)$S_{\triangle ABE}=\frac{35}{4}$.