《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例3 如图，已知 $ AB // CD $，$ CE $，$ BE $ 分别平分 $ \angle BCD $ 和 $ \angle CBA $，点 $ E $ 在 $ AD $ 上。求证：$ BC = AB + CD $。

证明：在 $BC$ 上截取 $BF = AB$，连接 $EF$，先证 $\triangle ABE\cong\triangle FBE(SAS)$ 得 $\angle A=\angle BFE$，由 $AB// CD$ 推出 $\angle D=\angle CFE$，再证 $\triangle DCE\cong\triangle FCE(AAS)$ 得 $CD = CF$，因为 $BC=BF + CF$，所以 $BC = AB + CD$。

答案： 【解析】：
1. 在 $BC$ 上截取 $BF = AB$，连接 $EF$。
因为 $BE$ 平分 $\angle CBA$，所以 $\angle ABE=\angle FBE$。
在 $\triangle ABE$ 和 $\triangle FBE$ 中，$\left\{\begin{array}{l}AB = BF\\\angle ABE=\angle FBE\\BE = BE\end{array}\right.$，根据全等三角形判定定理 $SAS$（边角边），可得 $\triangle ABE\cong\triangle FBE$。
由全等三角形的性质可知，$\angle A=\angle BFE$。
2. 因为 $AB// CD$，根据两直线平行，同旁内角互补，所以 $\angle A+\angle D = 180^{\circ}$。
又因为 $\angle BFE+\angle CFE = 180^{\circ}$，且 $\angle A=\angle BFE$，所以 $\angle D=\angle CFE$。
3. 因为 $CE$ 平分 $\angle BCD$，所以 $\angle DCE=\angle FCE$。
在 $\triangle DCE$ 和 $\triangle FCE$ 中，$\left\{\begin{array}{l}\angle D=\angle CFE\\\angle DCE=\angle FCE\\CE = CE\end{array}\right.$，根据全等三角形判定定理 $AAS$（角角边），可得 $\triangle DCE\cong\triangle FCE$。
由全等三角形的性质可知，$CD = CF$。
4. 因为 $BC=BF + CF$，且 $BF = AB$，$CF = CD$，所以 $BC = AB + CD$。
【答案】：在 $BC$ 上截取 $BF = AB$，连接 $EF$，先证 $\triangle ABE\cong\triangle FBE(SAS)$ 得 $\angle A=\angle BFE$，由 $AB// CD$ 推出 $\angle D=\angle CFE$，再证 $\triangle DCE\cong\triangle FCE(AAS)$ 得 $CD = CF$，因为 $BC=BF + CF$，所以 $BC = AB + CD$。

证明一条线段等于两条线段的和的方法：“截长法”或“补短法”。“截长法”的基本思路是在长线段上取一段，使之等于其中一条短线段，然后证明剩下的线段等于另一条短线段；“补短法”的基本思路是延长短线段，使之延长部分等于另一条短线段，再证明延长后的线段等于长线段。

答案： 【解析】：本题主要是对证明一条线段等于两条线段的和的“截长法”和“补短法”的概念进行解释说明，“截长法”是在长线段上截取一部分等于一条短线段，再证剩余部分等于另一条短线段；“补短法”是延长一条短线段使其延长部分等于另一条短线段，然后证明延长后的线段等于长线段。
【答案】：无（题目只是阐述方法，未提出具体问题需要作答）

1. 如图所示是一个平分角的仪器，其中 $ AB = AD $，$ BC = DC $。将点 $ A $ 放在角的顶点，$ AB $ 和 $ AD $ 沿着角的两边放下，沿 $ AC $ 画一条射线 $ AE $，$ AE $ 就是这个角的平分线。此仪器的原理是 (A)

A. SSS
B. SAS
C. ASA
D. AAS

答案： A

2. 如图，$ \triangle ABC \cong \triangle ADE $，$ \angle B = 28^\circ $，$ \angle E = 95^\circ $，$ \angle EAB = 20^\circ $，则 $ \angle BAD $ 的度数为 (D)

A. $ 75^\circ $
B. $ 57^\circ $
C. $ 55^\circ $
D. $ 77^\circ $

答案： D

3. 如图，已知点 $ A $，$ D $，$ C $，$ F $ 在同一直线上，$ AB = DE $，$ AD = CF $，添加下列条件后，仍不能判断 $ \triangle ABC \cong \triangle DEF $ 的是 (D)


A. $ BC = EF $
B. $ \angle A = \angle EDF $
C. $ AB // DE $
D. $ \angle BCA = \angle F $

答案： D

4. 如图，在 $ \triangle ABC $ 和 $ \triangle CDE $ 中，$ \angle ACB = \angle CED = 90^\circ $，$ AB = CD $，$ CE = AC $，则下列结论中错误的是 (D)

A. $ \triangle ABC \cong \triangle CDE $
B. $ \angle CAB = \angle DCE $
C. $ AB \perp CD $
D. $ E $ 为 $ BC $ 的中点

答案： D

5. 如图，在四边形 $ ABCD $ 中，$ BD $ 平分 $ \angle ABC $，且 $ AD = CD $，若 $ \angle CBD = \alpha $，则 $ \angle ADC $ 一定等于 (D)

A. $ 3\alpha $
B. $ 90^\circ + 2\alpha $
C. $ 135^\circ - 2\alpha $
D. $ 180^\circ - 2\alpha $

答案： D

6. 如图，$ BN $ 为 $ \angle MBC $ 的平分线，$ P $ 为 $ BN $ 上一点，且 $ PD \perp BC $ 于点 $ D $，$ \angle APC + \angle ABC = 180^\circ $，给出下列结论：
① $ \angle MAP = \angle BCP $；
② $ PA = PC $；
③ $ AB + BC = 2BD $；
④ 四边形 $ BAPC $ 的面积是 $ \triangle PBD $ 面积的 2 倍。
其中正确的有 (A)

A. 4 个
B. 3 个
C. 2 个
D. 1 个

答案： A