《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 线段的垂直平分线的性质
线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等.
如图，直线$ l $为线段$ AB $的垂直平分线，则$ AC = $$BC$，$\triangle PAC \cong $$\triangle PBC$，$ PA = $$PB$.

答案： 【解析】：
根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。
因为直线$l$为线段$AB$的垂直平分线，所以$AC = BC$。
在$\triangle PAC$和$\triangle PBC$中，$AC = BC$，$\angle PCA=\angle PCB = 90^{\circ}$，$PC = PC$（公共边），根据$SAS$（边角边）判定定理可得$\triangle PAC\cong\triangle PBC$。
由$\triangle PAC\cong\triangle PBC$，根据全等三角形的对应边相等，可得$PA = PB$。
【答案】：相等；$BC$；$\triangle PBC$；$PB$。

2. 线段的垂直平分线的判定
与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上.

答案： 【解析】：根据线段垂直平分线的判定定理可知，与线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上。
【答案】：相等

3. 逆命题与逆定理的概念
(1) 两个命题的题设、结论正好相反. 我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题. 如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题；
(2) 如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理.

答案： 【解析】：1. 对于两个命题，如果它们的题设和结论正好相反，根据定义，这样的两个命题就叫做互逆命题，其中一个是原命题，另一个就是它的逆命题。2. 当一个定理的逆命题经过证明是真命题时，这两个定理就被称为互逆定理，其中一个定理就是另一个定理的逆定理。
【答案】：
(1)互逆命题；逆命题
(2)互逆定理；逆定理

例1 如图，在$\triangle ABC$中，$ AB = AC = 10m $，作线段$ AB $的垂直平分线$ ED $交$ AC $于点$ D $，交$ AB $于点$ E $. 若$\triangle BDC$的周长为$ 17m $，请计算$ BC $的长.

$ BC = $7m.

答案： $ BC = 7m $.

利用线段的垂直平分线的性质求三角形周长的方法：
(1) 将封闭的三角形在某个顶点处“剪”开；
(2) 利用线段垂直平分线的性质转化其中一条边的位置，使其与另一边拼接在一起；
(3) 将三角形的周长转化为两条线段的和.

答案： 【解析】：首先，将封闭的三角形在某个顶点处“剪”开，这是为后续利用线段垂直平分线性质做准备。接着，利用线段垂直平分线的性质，即线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，把其中一条边的位置进行转化，使其能与另一边拼接在一起。最后，通过这样的转化，就可以把三角形的周长转化为两条线段的和，从而方便计算。
【答案】：此方法是一种有效的利用线段垂直平分线性质求三角形周长的思路，可按上述步骤操作来实现将三角形周长转化为两条线段和的目的。

1. 如图，$ AC $垂直平分$ BD $，垂足为$ E $，则下列结论不一定成立的是 (D)

A. $ AB = AD $
B. $ AC $平分$\angle BCD$
C. $\angle ABC = \angle ADC$
D. $\angle BAD = \angle BCD$

答案： D

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$ AB $的垂直平分线交$ BC $于点$ D $，$ AC $的垂直平分线交$ BC $于点$ E $. 若$\triangle ADE$的周长为$ 8 $，则$ BC $的长为____8.

答案： 8

3. 如图，$ P $为$\triangle ABC$内一点，过点$ P $的线段$ MN $分别交$ AB $，$ BC $于点$ M $，$ N $，且$ M $，$ N $分别在$ PA $，$ PC $的中垂线上. 若$\angle ABC = 80^{\circ}$，则$\angle APC$的度数为____$ 130^{\circ} $.

答案： $ 130^{\circ} $