《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

3. 如图，在$\triangle ABE$中，$BA = BE$，$F$为$AE$的中点。若$\angle ABC = 34^{\circ}$，$\angle C = 50^{\circ}$，则$\angle ADB$的度数为(A)

A. $67^{\circ}$
B. $68^{\circ}$
C. $70^{\circ}$
D. $84^{\circ}$

答案： A

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，延长$CB$至点$E$，延长$BC$至点$F$，使$BE = CF$，连接$AE$，$AF$。求证：$AD$平分$\angle EAF$。
证明：因为$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD\perp BC$，$BD = CD$。已知$BE = CF$，那么$BE + BD=CF + CD$，即$ED = FD$。在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中，$AD = AD$（公共边），$\angle ADE=\angle ADF = 90^{\circ}$（由$AD\perp BC$得到），$ED = FD$（已证），根据全等三角形判定定理SAS，可得$\triangle AED\cong\triangle AFD$。因为全等三角形的对应角相等，所以$\angle EAD=\angle FAD$，即$AD$平分$\angle EAF$。

答案： 【解析】：
1. 因为$AB = AC$，$AD$是$BC$边上的中线，根据等腰三角形三线合一的性质，可得$AD\perp BC$，$BD = CD$。
2. 已知$BE = CF$，那么$BE + BD=CF + CD$，即$ED = FD$。
3. 在$\triangle AED$和$\triangle AFD$中：
$AD = AD$（公共边）。
$\angle ADE=\angle ADF = 90^{\circ}$（由$AD\perp BC$得到）。
$ED = FD$（已证）。
根据全等三角形判定定理“边角边”（$SAS$），可得$\triangle AED\cong\triangle AFD$。
4. 因为全等三角形的对应角相等，所以$\angle EAD=\angle FAD$，即$AD$平分$\angle EAF$。
【答案】：证明过程如上述解析，可证得$AD$平分$\angle EAF$。

1. 下列关于等腰三角形的性质叙述错误的是(D)
A. 等腰三角形的两底角相等
B. 等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合
C. 等腰三角形是轴对称图形
D. 等腰三角形的对称轴是底边上的中线

答案： D

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle A = 45^{\circ}$，$\angle B = 60^{\circ}$，点$D$在边$AB$上，且$BD = BC$，连接$CD$，则$\angle ACD$的度数为(C)

A. $30^{\circ}$
B. $25^{\circ}$
C. $15^{\circ}$
D. $10^{\circ}$

答案： C

3. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle A = 30^{\circ}$，$AB$的垂直平分线$l$交$AC$于点$D$，则$\angle CBD$的度数为(B)

A. $30^{\circ}$
B. $45^{\circ}$
C. $50^{\circ}$
D. $75^{\circ}$

答案： B

4. (1) 若等腰三角形的一个底角为$72^{\circ}$，则这个等腰三角形的顶角的度数为$36^{\circ}$；
(2) 若一个等腰三角形的一个底角和顶角的度数之比是$4:1$，则这个等腰三角形的顶角的度数为$20^{\circ}$；
(3) 已知等腰三角形的一个外角为$130^{\circ}$，则它的顶角的度数为$50^{\circ}$或$80^{\circ}$。

答案：
(1) $36^{\circ}$;
(2) $20^{\circ}$;
(3) $50^{\circ}$或 $80^{\circ}$

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，点$D$在$CA$的延长线上，$DE \perp BC$于点$E$。若$\angle BAC = 100^{\circ}$，则$\angle D$的度数为$50^{\circ}$。

答案： $50^{\circ}$

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle BAC = 120^{\circ}$，$AD$是$BC$边上的中线，$E$是$AB$上一点且$BD = BE$，则$\angle ADE$的度数为$15^{\circ}$。

答案： $15^{\circ}$