《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

5. 如图，在$\triangle ABC$中，$D$为$BC$的中点，$ED\perp BC$交$\angle BAC$的平分线$AE$于点$E$，$EF\perp AB$于点$F$，$EG\perp AC$交$AC$的延长线于点$G$。求证：$BF = CG$。

证明：连接$EB$、$EC$，由角平分线性质得$EF = EG$，由线段垂直平分线性质得$EB = EC$，证明$Rt\triangle EFB\cong Rt\triangle EGC(HL)$，得出$BF = CG$。

答案： 【解析】：连接$EB$、$EC$。
因为$AE$平分$\angle BAC$，$EF\perp AB$，$EG\perp AC$，根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等，所以$EF = EG$。
因为$D$为$BC$的中点，$ED\perp BC$，所以$ED$是$BC$的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等，所以$EB = EC$。
在$Rt\triangle EFB$和$Rt\triangle EGC$中，$\left\{\begin{array}{l}EF = EG\\EB = EC\end{array}\right.$，根据$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等）可判定$Rt\triangle EFB\cong Rt\triangle EGC$。
全等三角形的对应边相等，所以$BF = CG$。
【答案】：连接$EB$、$EC$，由角平分线性质得$EF = EG$，由线段垂直平分线性质得$EB = EC$，证明$Rt\triangle EFB\cong Rt\triangle EGC(HL)$，得出$BF = CG$。

1. 如图，射线$OC$是$\angle AOB$的平分线，$P$是射线$OA$上一点，$DP\perp OA$，$DP = 5$。若$Q$是射线$OB$上的一个动点，设线段$DQ$的长为$x$，则$x$的取值范围是 (C)

A. $x＞5$
B. $x＜5$
C. $x\geqslant5$
D. $x\leqslant5$

答案： C

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，以$A$为圆心，任意长为半径画弧，分别交$AB$，$AC$于点$M$，$N$，再分别以点$M$，$N$为圆心，大于$\frac{1}{2}MN$的长为半径画弧，两弧交于点$O$，作射线$AO$交$BC$于点$D$。已知$BD = 5$，$CD = 3$，则点$D$到$AB$的距离为 (B)

A. $2$
B. $3$
C. $5$
D. $4$

答案： B

3. 如图，射线$OC$是$\angle AOB$的平分线，$D$是射线$OC$上的一点，$DP\perp OA$于点$P$，$DP = 5$。若$Q$是射线$OB$上的一点，$OQ = 4$，则$\triangle ODQ$的面积是 (C)

A. $4$
B. $5$
C. $10$
D. $20$

答案： C

4. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C = 90^{\circ}$，$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$于点$E$，则下列结论：① $CD = ED$；② $AC + BE = AB$；③ $DA$平分$\angle CDE$；④ $\angle BDE = \angle BAC$。其中正确的个数为 (B)

A. $1$
B. $4$
C. $3$
D. $2$

答案： B

5. 如图，$AD$平分$\angle BAC$，$DE\perp AB$于点$E$，且$\angle B = 40^{\circ}$，$\angle C = 80^{\circ}$，则$\angle ADE$的度数为$60^{\circ}$。

答案： $60^{\circ}$

6. 如图，$BD$是$\angle ABC$的平分线，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp BC$于点$F$。若$AB = 12$，$BC = 15$，$\triangle ABC$的面积是$36$，则$DE$的长为______$\frac{8}{3}$。

答案： $\frac{8}{3}$

7. 如图，铁路$OA$和铁路$OB$交于点$O$处，河道$AB$与铁路分别交于点$A$处和点$B$处，试在河岸上建一座水厂$M$，要求水厂$M$到铁路$OA$，$OB$的距离相等，则该水厂$M$应建在图中什么位置？请在图中标出点$M$的位置。

作∠AOB的角平分线，与AB的交点即为点M的位置

答案： 【解析】：根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。所以要使水厂$M$到铁路$OA$，$OB$的距离相等，则点$M$应在$\angle AOB$的角平分线上，又因为点$M$在河岸$AB$上，所以$\angle AOB$的角平分线与$AB$的交点就是点$M$的位置。
【答案】：作$\angle AOB$的角平分线，与$AB$的交点即为点$M$的位置（图略）。