《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 如图，$B$是线段$AC$的中点，$AD// BE$，$BD// CE$。求证：$\triangle ABD\cong\triangle BCE$。

证明：在$\triangle ABD$和$\triangle BCE$中，
$\because AD// BE$，$\therefore\angle A=\angle EBC$（两直线平行，同位角相等），
$\because BD// CE$，$\therefore\angle DBA=\angle C$（两直线平行，同位角相等），
$\because B$是$AC$中点，$\therefore AB = BC$，
$\therefore\triangle ABD\cong\triangle BCE$(ASA)。

答案： 【解析】：
- 因为$AD// BE$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$\angle A=\angle EBC$。
- 因为$BD// CE$，根据“两直线平行，同位角相等”，可得$\angle DBA=\angle C$。
- 又因为$B$是线段$AC$的中点，所以$AB = BC$。
- 在$\triangle ABD$和$\triangle BCE$中，$\begin{cases}\angle A=\angle EBC \\AB = BC\\\angle DBA=\angle C\end{cases}$，根据“角 - 边 - 角”（$ASA$）判定定理，可证$\triangle ABD\cong\triangle BCE$。
【答案】：
在$\triangle ABD$和$\triangle BCE$中，
$\because AD// BE$，$\therefore\angle A=\angle EBC$（两直线平行，同位角相等），
$\because BD// CE$，$\therefore\angle DBA=\angle C$（两直线平行，同位角相等），
$\because B$是$AC$中点，$\therefore AB = BC$，
$\therefore\triangle ABD\cong\triangle BCE(ASA)$。

2. 如图，$AC$，$DB$相交于点$O$，$AB = DC$，$\angle ABO=\angle DCO$。求证：$\triangle ABO\cong\triangle DCO$。

证明：在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中，$\begin{cases}\angle ABO = \angle DCO\\\angle AOB = \angle DOC\\AB = DC\end{cases}$，所以$\triangle ABO\cong\triangle DCO$(AAS)。

答案： 【解析】：
本题可根据全等三角形的判定定理$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）来证明$\triangle ABO\cong\triangle DCO$。
- **步骤一：分析已知条件**
已知$AB = DC$，$\angle ABO=\angle DCO$。
又因为$AC$与$DB$相交于点$O$，根据对顶角的性质：对顶角相等，可得$\angle AOB=\angle DOC$。
- **步骤二：证明三角形全等**
在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中：
$\angle ABO=\angle DCO$（已知）；
$\angle AOB=\angle DOC$（对顶角相等）；
$AB = DC$（已知）。
满足全等三角形判定定理$AAS$的条件，所以$\triangle ABO\cong\triangle DCO$。
【答案】：
在$\triangle ABO$和$\triangle DCO$中，$\begin{cases}\angle ABO = \angle DCO\\\angle AOB = \angle DOC\\AB = DC\end{cases}$，所以$\triangle ABO\cong\triangle DCO(AAS)$。

3. 如图，四边形$ABCD$是正方形，$E$，$F$分别在边$BC$，$CD$上，且$\angle EAF = 45^{\circ}$。求证：$EF = BE + DF$。


证明：延长$CB$到点$G$，使$BG = DF$，连接$AG$。先证$\triangle ABG\cong\triangle ADF(SAS)$，得$AG = AF$，$\angle BAG=\angle DAF$；再由$\angle EAF = 45^{\circ}$，$\angle BAD = 90^{\circ}$推出$\angle EAG=\angle EAF$；最后证$\triangle AEG\cong\triangle AEF(SAS)$，得$EF = EG$，又$EG = BE + BG$，$BG = DF$，所以$EF = BE + DF$。

答案： 【解析】：
1. 延长$CB$到点$G$，使$BG = DF$，连接$AG$。
因为四边形$ABCD$是正方形，所以$AB = AD$，$\angle ABG=\angle D = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABG$和$\triangle ADF$中，$\begin{cases}AB = AD\\\angle ABG=\angle D\\BG = DF\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ABG\cong\triangle ADF$。
所以$AG = AF$，$\angle BAG=\angle DAF$。
2. 因为$\angle EAF = 45^{\circ}$，$\angle BAD = 90^{\circ}$，所以$\angle BAE+\angle DAF = 45^{\circ}$。
又因为$\angle BAG=\angle DAF$，所以$\angle BAE+\angle BAG=\angle EAG = 45^{\circ}$，即$\angle EAG=\angle EAF$。
3. 在$\triangle AEG$和$\triangle AEF$中，$\begin{cases}AG = AF\\\angle EAG=\angle EAF\\AE = AE\end{cases}$，根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle AEG\cong\triangle AEF$。
所以$EF = EG$。
而$EG = BE + BG$，又因为$BG = DF$，所以$EF = BE + DF$。
【答案】：延长$CB$到点$G$，使$BG = DF$，连接$AG$。先证$\triangle ABG\cong\triangle ADF(SAS)$，得$AG = AF$，$\angle BAG=\angle DAF$；再由$\angle EAF = 45^{\circ}$，$\angle BAD = 90^{\circ}$推出$\angle EAG=\angle EAF$；最后证$\triangle AEG\cong\triangle AEF(SAS)$，得$EF = EG$，又$EG = BE + BG$，$BG = DF$，所以$EF = BE + DF$。