《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

14. 如图，在$Rt\triangle ABC$中。
（1）利用尺规作图，在$BC$边上求作一点$P$，使得点$P$到$AB$的距离（$PD$的长）等于$PC$的长；作出$\angle A$的平分线交$BC$于$P$点（作图痕迹为$\angle A$平分线）
（2）利用尺规作图，作出（1）中的线段$PD$。过$P$作$PD\perp AB$（作图痕迹为过$P$作$AB$垂线）
（不写作法，保留作图痕迹）

答案： 【解析】：
（1）根据角平分线的性质：角平分线上的点到角两边的距离相等。所以作$\angle A$的平分线与$BC$的交点即为$P$点（因为$\angle A$的平分线是到$AB$和$AC$距离相等的点的集合，$AC\perp BC$，$PD\perp AB$，$PC = PD$）。
（2）过$P$作$PD\perp AB$，垂足为$D$，根据过直线外一点作已知直线垂线的尺规作图方法作出$PD$。
【答案】：
（1）作出$\angle A$的平分线交$BC$于$P$点（作图痕迹为$\angle A$平分线）；
（2）过$P$作$PD\perp AB$（作图痕迹为过$P$作$AB$垂线）。

15. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\angle ABC$的平分线$BD$交$AC$于点$D$，过点$A$作$AE// BC$交$BD$的延长线于点$E$。
（1）若$\angle BAC = 40^{\circ}$，求$\angle E$的度数；$35^{\circ}$
（2）若$F$是$DE$上的一点，且$AD = AF$。求证：$BD = EF$。证明略．

答案：
(1)$∠E=35^{\circ }$．
(2)证明略．

16. 如图，$\triangle ABC$为等边三角形，直线$a// AB$，$D$为直线$BC$上任一动点，将一$60^{\circ}$角的顶点置于点$D$处，它的一边始终经过点$A$，另一边与直线$a$交于点$E$。
（1）若点$D$恰好在$BC$的中点上（如图①），求证：$\triangle ADE$是等边三角形；证明略
（2）若$D$为直线$BC$上任一点（如图②），其他条件不变，上述（1）的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由。成立．证明略

答案：
(1)证明略．
(2)成立．证明略．