《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

10. 如图,在Rt△ABC中, $ AB = AC $, $ ∠A = 90° $,D为BC上任意一点,DF⊥AB于点F,DE⊥AC于点E,M是BC的中点,连接EF,EM,FM. 试判断△MEF的形状,并说明理由.

△MEF的形状为等腰直角三角形. 理由略.

答案： $\triangle MEF$ 是等腰直角三角形. 理由略.

11. 已知在等腰△ABC中, $ AB = AC $,点D在CB的延长线上,过点C作CF⊥AB于点E,与AD交于点F.
(1) 如图①,若 $ ∠ADC = 45° $,试说明: $ AB = CF $;
证明：已知CF⊥AD，∠ADC=45°，在Rt△DEF中，∠DFE=180°-∠DEF-∠ADC=180°-90°-45°=45°，所以∠DFE=∠ADC，故DE=EF。因为∠DEB=∠AEC=90°，∠D=∠FCE=45°，∠DBE=∠ABC（对顶角相等），AB=AC，所以∠ABC=∠ACB。∠D+∠DAB=∠ABC，∠FCE+∠FCA=∠ACB，可得∠DAB=∠FCA。在△ADB和△CFE中，$\left\{\begin{array}{l}\angle D=\angle FCE\\DE = CE\\\angle DAB=\angle FCA\end{array}\right.$，根据ASA定理，△ADB≌△CFE，所以AB=CF。
(2) 在(1)的条件下,如图②,G为△ABC内一点, $ AG = CG $, $ ∠AGC = 90° $. 若 $ ∠ABG = ∠BCG $,试说明: $ BC = 2BD $.
证明：过点A作AH⊥BC于点H。因为AB=AC，根据等腰三角形三线合一性质，BH=CH=$\frac{1}{2}BC$。因为AG=CG，∠AGC=90°，设AG=CG=a，则AC=$\sqrt{2}a$。因为AB=AC，∠ABG=∠BCG，∠BAG=45°-∠GAC，∠ACG=45°-∠GAC，所以∠BAG=∠ACG。在△ABG和△CAG中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABG=\angle BCG\\AB = AC\\\angle BAG=\angle ACG\end{array}\right.$，根据ASA定理，△ABG≌△CAG，所以∠ABG=∠BCG=22.5°。∠ABC=∠ACB=45°，在Rt△ABH中，∠BAH=45°，AB=AC，∠ABD=180°-∠ABC=135°，∠BAD=22.5°。在BC上取一点M，使BM=BD，则∠BMD=∠BDM。∠ABC=45°，∠ABD=135°，∠BDM=$\frac{180^{\circ}-\angle ABD}{2}$=$\frac{180^{\circ}-135^{\circ}}{2}$=22.5°。因为△ADB≌△CFE，∠BAD=∠FCE=22.5°，∠ACB=45°，所以∠ACM=22.5°。又因为AB=AC，∠ABD=∠CAM=135°，在△ABD和△CAM中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABD=\angle CAM\\AB = AC\\\angle BAD=\angle ACM\end{array}\right.$，根据ASA定理，△ABD≌△CAM，所以BD=CM。因为BM=BD，BC=BM+CM，所以BC=2BD。

答案： 【解析】：
### $(1)$ 证明$AB = CF$
已知$CF\perp AD$，$\angle ADC = 45^{\circ}$，在$Rt\triangle DEF$中，$\angle DFE=180^{\circ}-\angle DEF - \angle ADC=180^{\circ}-90^{\circ}-45^{\circ}=45^{\circ}$，所以$\angle DFE=\angle ADC$，则$DE = CE$。
因为$\angle DEB=\angle AEC = 90^{\circ}$，$\angle D=\angle FCE = 45^{\circ}$，$\angle DBE=\angle ABC$（对顶角相等），$AB = AC$，所以$\angle ABC=\angle ACB$。
$\angle D+\angle DAB=\angle ABC$，$\angle FCE+\angle FCA=\angle ACB$，可得$\angle DAB=\angle FCA$。
在$\triangle ADB$和$\triangle CFE$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle D=\angle FCE\\DE = CE\\\angle DAB=\angle FCA\end{array}\right.$，根据$ASA$（角 - 边 - 角）定理，$\triangle ADB\cong\triangle CFE$，所以$AB = CF$。
### $(2)$ 证明$BC = 2BD$
过点$A$作$AH\perp BC$于点$H$。
因为$AB = AC$，根据等腰三角形三线合一性质，$BH = CH=\frac{1}{2}BC$。
因为$AG = CG$，$\angle AGC = 90^{\circ}$，设$AG = CG=a$，则$AC=\sqrt{AG^{2}+CG^{2}}=\sqrt{2}a$。
因为$AB = AC$，$\angle ABG=\angle BCG$，$\angle BAG = 45^{\circ}-\angle GAC$，$\angle ACG = 45^{\circ}-\angle GAC$，所以$\angle BAG=\angle ACG$。
在$\triangle ABG$和$\triangle CAG$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABG=\angle BCG\\AB = AC\\\angle BAG=\angle ACG\end{array}\right.$，根据$ASA$定理，$\triangle ABG\cong\triangle CAG$，所以$\angle ABG=\angle BCG = 22.5^{\circ}$。
$\angle ABC=\angle ACB = 45^{\circ}$，在$Rt\triangle ABH$中，$\angle BAH = 45^{\circ}$，$AB = AC$，$\angle ABD = 180^{\circ}-\angle ABC=135^{\circ}$，$\angle BAD = 22.5^{\circ}$。
在$BC$上取一点$M$，使$BM = BD$，则$\angle BMD=\angle BDM$。
$\angle ABC = 45^{\circ}$，$\angle ABD = 135^{\circ}$，$\angle BDM=\frac{180^{\circ}-\angle ABD}{2}=\frac{180^{\circ}-135^{\circ}}{2}=22.5^{\circ}$。
因为$\triangle ADB\cong\triangle CFE$，$\angle BAD=\angle FCE = 22.5^{\circ}$，$\angle ACB = 45^{\circ}$，所以$\angle ACM = 22.5^{\circ}$。
又因为$AB = AC$，$\angle ABD=\angle CAM = 135^{\circ}$，在$\triangle ABD$和$\triangle CAM$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle ABD=\angle CAM\\AB = AC\\\angle BAD=\angle ACM\end{array}\right.$，根据$ASA$定理，$\triangle ABD\cong\triangle CAM$，所以$BD = CM$。
因为$BM = BD$，$BC=BM + CM$，所以$BC = 2BD$。
【答案】：
$(1)$ 证明过程如上述解析，可证得$AB = CF$；
$(2)$ 证明过程如上述解析，可证得$BC = 2BD$。