《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例2 如图①,为了测量池塘两端A,B之间的距离,在地面上选取可以直接到达点A和点B的点C,连接AC,BC,再在地面上选取可以直接到达点B和点C的点D,连接DB,DC,使CB平分$∠ACD,AC = DC$(点A,B,C,D在同一平面内),此时测量出线段BD的长便是池塘两端A,B之间的距离.
(1)请你证明题目中的结论;
因为$CB$平分$\angle ACD$，所以$\angle ACB=\angle DCB$。在$\triangle ACB$和$\triangle DCB$中，$\begin{cases}AC = DC\\\angle ACB=\angle DCB\\CB = CB\end{cases}$。所以$\triangle ACB\cong\triangle DCB$（$SAS$）。根据全等三角形的对应边相等，可得$AB = BD$。
(2)请你再设计一种测量池塘两端A,B之间距离的方案,并说明理由.(要求写出方案并在图②中画出图形,可以借助刻度尺或圆规)
方案：延长$AB$到点$E$，使$BE = AB$，连接$AE$，用刻度尺测量$AE$的长度，$AE$长度的一半就是$AB$的长度。理由：因为$BE = AB$，所以$AB=\frac{1}{2}AE$（线段中点的定义）。图形：（在图②基础上延长$AB$到$E$，使$BE = AB$，连接$AE$）。

答案： 【解析】：
(1)
因为$CB$平分$\angle ACD$，所以$\angle ACB=\angle DCB$。
在$\triangle ACB$和$\triangle DCB$中，$\begin{cases}AC = DC\\\angle ACB=\angle DCB\\CB = CB\end{cases}$（边角边定理）。
所以$\triangle ACB\cong\triangle DCB$（$SAS$）。
根据全等三角形的对应边相等，可得$AB = BD$，即测量出线段$BD$的长便是池塘两端$A$，$B$之间的距离。
(2)
方案：
如图②，延长$AB$到点$E$，使$BE = AB$，连接$AE$，用刻度尺测量$AE$的长度，$AE$长度的一半就是$AB$的长度。
理由：
因为$BE = AB$，所以$AB=\frac{1}{2}AE$（线段中点的定义）。
【答案】：
(1) 证明见上述解析。
(2) 方案：延长$AB$到点$E$，使$BE = AB$，连接$AE$，用刻度尺测量$AE$的长度，$AE$长度的一半就是$AB$的长度。理由：因为$BE = AB$，所以$AB=\frac{1}{2}AE$（线段中点的定义）。图形：（在图②基础上延长$AB$到$E$，使$BE = AB$，连接$AE$）。

3. 如图,在湖的A,B两点间建一座观赏桥,由于条件限制,无法直接测量A,B两点间的距离.请你用学过的数学知识设计一种测量方案.
(1)画出测量图案;在湖岸上选一点$O$，连接$AO$并延长至$C$，使$OC = OA$；连接$BO$并延长至$D$，使$OD = OB$，连接$CD$。
(2)写出测量步骤;第一步：在湖岸上选一点$O$，测量$AO$并延长$AO$至$C$，使$OC = OA$。第二步：测量$BO$并延长$BO$至$D$，使$OD = OB$。第三步：测量$CD$的长度。
(3)求出A,B两点间的距离.(用几何语言说明)$AB = CD$（理由：在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OC\\\angle AOB=\angle COD\\OB = OD\end{array}\right.$，$\triangle AOB\cong\triangle COD(SAS)$，所以$AB = CD$）。

答案： 【解析】：
(1) 测量图案：在湖岸上选一点$O$，连接$AO$并延长至$C$，使$OC = OA$；连接$BO$并延长至$D$，使$OD = OB$，连接$CD$。
(2) 测量步骤：
第一步：在湖岸上选一点$O$，用测量工具（如卷尺等）测量出$AO$的长度，然后延长$AO$至$C$，使得$OC = OA$，并记录$C$点位置。
第二步：同样地，测量出$BO$的长度，延长$BO$至$D$，使得$OD = OB$，记录$D$点位置。
第三步：用测量工具测量出$CD$的长度。
(3) 在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OC\\\angle AOB=\angle COD\\OB = OD\end{array}\right.$（对顶角相等），根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle AOB\cong\triangle COD$，所以$AB = CD$（全等三角形对应边相等），即$A$、$B$两点间的距离等于$CD$的长度。
【答案】：
(1) 测量图案：在湖岸上选一点$O$，连接$AO$并延长至$C$，使$OC = OA$；连接$BO$并延长至$D$，使$OD = OB$，连接$CD$。
(2) 测量步骤：
第一步：在湖岸上选一点$O$，测量$AO$并延长$AO$至$C$，使$OC = OA$。
第二步：测量$BO$并延长$BO$至$D$，使$OD = OB$。
第三步：测量$CD$的长度。
(3) $AB = CD$（理由：在$\triangle AOB$和$\triangle COD$中，$\left\{\begin{array}{l}OA = OC\\\angle AOB=\angle COD\\OB = OD\end{array}\right.$，$\triangle AOB\cong\triangle COD(SAS)$，所以$AB = CD$）。

1. 如图,$AE// FD,AE = FD$,要使$\triangle EAC\cong \triangle FDB$,则可以添加的条件是(D)

A. $AB = BC$
B. $EC = BF$
C. $∠A = ∠D$
D. $AB = CD$

答案： D