《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

9. 如图,在$\triangle ABC$中,$∠B = 110^{\circ }$,延长BC至点D,使得$CD = AB$,过点C作$CE// AB$,且$CE = BC$,连接DE并延长交AC于点F,交AB于点H.若$∠D = 20^{\circ }$,则$∠CFE$的度数为____$30^{\circ }$.

答案： $ 30 ^ { \circ } $

10. 如图,在$\triangle ABC$中,$AB = 5,AC = 3$,AD是$\triangle ABC$的中线.设AD的长为m,则m的取值范围是$1 < m < 4$.

答案： $ 1 ＜ m ＜ 4 $

11. 如图,已知BD,CE是$\triangle ABC$的高,点P在BD的延长线上,$BP = AC$,点Q在CE上,且$CQ = AB$.求证:
(1)$AP = AQ$;证明：因为$BD$、$CE$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$。在$\triangle ABD$中，$\angle ABD+\angle BAD = 90^{\circ}$；在$\triangle ACE$中，$\angle ACE+\angle CAE = 90^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle ACE$。已知$BP = AC$，$CQ = AB$，根据$SAS$定理，在$\triangle ABP$和$\triangle QCA$中，$\left\{\begin{array}{l}BP = AC\\\angle ABP=\angle QCA\\AB = CQ\end{array}\right.$，所以$\triangle ABP\cong\triangle QCA$，故$AP = AQ$。
(2)$AP⊥AQ$.证明：因为$\triangle ABP\cong\triangle QCA$，所以$\angle P=\angle CAQ$。又因为$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\angle P+\angle PAD = 90^{\circ}$，则$\angle CAQ+\angle PAD = 90^{\circ}$，即$\angle PAQ=90^{\circ}$，所以$AP\perp AQ$。

答案： 【解析】：
(1) 因为$BD$、$CE$是$\triangle ABC$的高，所以$\angle ADB=\angle AEC = 90^{\circ}$。
在$\triangle ABD$中，$\angle ABD+\angle BAD = 90^{\circ}$；在$\triangle ACE$中，$\angle ACE+\angle CAE = 90^{\circ}$，所以$\angle ABD=\angle ACE$。
已知$BP = AC$，$CQ = AB$，根据$SAS$（边角边）定理，在$\triangle ABP$和$\triangle QCA$中，$\left\{\begin{array}{l}BP = AC\\\angle ABP=\angle QCA\\AB = CQ\end{array}\right.$，所以$\triangle ABP\cong\triangle QCA$。
根据全等三角形的性质，全等三角形的对应边相等，所以$AP = AQ$。
(2) 因为$\triangle ABP\cong\triangle QCA$，所以$\angle P=\angle CAQ$。
又因为$\angle ADB = 90^{\circ}$，所以$\angle P+\angle PAD = 90^{\circ}$，将$\angle P=\angle CAQ$代入可得$\angle CAQ+\angle PAD = 90^{\circ}$，即$\angle PAQ=\angle CAQ+\angle PAD+\angle DAC-\angle DAC=(\angle CAQ+\angle PAD)+\angle DAC-\angle DAC = 90^{\circ}$，所以$AP\perp AQ$。
【答案】：
(1) $AP = AQ$；
(2) $AP\perp AQ$。

12. 请阅读,完成证明和填空.
八年级数学兴趣小组在学校的“数学长廊”中兴奋地展示了他们小组探究发现的结果,内容如下:
(1)如图①,在正三角形ABC的AB,AC边上分别取点M,N,使$BM = AN$,连接BN,CM,发现$BN = CM$,且$∠NOC = 60^{\circ }$.求证:$∠NOC = 60^{\circ };$
(2)如图②,在正方形ABCD的AB,BC边上分别取点M,N,使$AM = BN$,连接AN,DM,那么$AN = $$DM$,且$∠DON = $$90^{\circ }$;
(3)如图③,在正五边形ABCDE的AB,BC边上分别取点M,N,使$AM = BN$,连接AN,EM,那么$AN = $$EM$,且$∠EON = $$108^{\circ }$.

答案：
(1) 证明略；
(2) $ DM $；$ 90 ^ { \circ } $；
(3) $ EM $；$ 108 ^ { \circ } $