《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 直角三角形全等的判定“HL”
斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等(可以简写成“斜边、直角边”或“HL”).
如图，$\angle B=\angle E=90^{\circ}$.
在$Rt\triangle ABC$和$Rt\triangle DEF$中，$\left\{\begin{array}{l} AB=DE,\\ AC=DF,\end{array}\right.$
$\therefore Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle DEF(HL)$.

答案： 【解析】：根据直角三角形全等判定“HL”的定义，是斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等。
【答案】：斜边；条直角边

例1 如图，在$\triangle ABC$中，$D$为$BC$边的中点，$DE\perp AB$于点$E$，$DF\perp AC$于点$F$，且$DE=DF$，那么$\angle B$与$\angle C$之间有什么关系？说明你的理由.

∠B与∠C之间的关系是∠B=∠C. 理由略.

答案： ∠B=∠C. 理由略.

1. 如图，若要用“HL”证明$Rt\triangle ABC\cong Rt\triangle ABD$，则还需补充的条件是(A)

A. $AC=AD$或$BC=BD$
B. $AC=AD$且$BC=BD$
C. $\angle BAC=\angle BAD$
D. 以上都不对

答案： A

2. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle C=90^{\circ}$，$DE\perp AB$于点$D$，$BC=BD$. 若$AC=3$，则$AE+DE$的长为3.

答案： 3

3. 如图，已知$AB=CD$，$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，垂足分别为$E$，$F$，$BF=DE$. 求证：$AB// CD$.
证明：因为$BF=DE$，所以$BF+EF=DE+EF$，即$BE=DF$。
因为$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，所以$\angle AEB=\angle CFD=90^{\circ}$。
在$Rt\triangle AEB$和$Rt\triangle CFD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB=CD\\BE=DF\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle AEB\cong Rt\triangle CFD(HL)$。
所以$\angle B=\angle D$，所以$AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。

答案： 【解析】：
- 因为$BF = DE$，根据等式的性质，在等式两边同时加上$EF$，可得$BF + EF = DE + EF$，即$BE = DF$。
- 已知$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，所以$\angle AEB=\angle CFD = 90^{\circ}$。
- 在$Rt\triangle AEB$和$Rt\triangle CFD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\BE = DF\end{array}\right.$，根据直角三角形全等判定定理$HL$（斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等），可以得出$Rt\triangle AEB\cong Rt\triangle CFD$。
- 由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应角相等，所以$\angle B=\angle D$。
- 根据内错角相等，两直线平行，因为$\angle B$和$\angle D$是内错角且$\angle B=\angle D$，所以$AB// CD$。
【答案】：
因为$BF = DE$，所以$BF + EF = DE + EF$，即$BE = DF$。
因为$AE\perp BD$，$CF\perp BD$，所以$\angle AEB=\angle CFD = 90^{\circ}$。
在$Rt\triangle AEB$和$Rt\triangle CFD$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = CD\\BE = DF\end{array}\right.$，所以$Rt\triangle AEB\cong Rt\triangle CFD(HL)$。
所以$\angle B=\angle D$，所以$AB// CD$（内错角相等，两直线平行）。