《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

9. 已知$x - y = 2 , x y = \frac { 1 } { 2 }$,则$x ^ { 3 } y + x ^ { 2 } y ^ { 2 } + x y ^ { 3 }$的值为(D)
A. 3
B. 5
C. $\frac { 11 } { 2 }$
D. $\frac { 11 } { 4 }$

答案： D

10. 已知一个三角形的三边长为a,b,c,且满足$a ^ { 2 } - 4 b = 7 , b ^ { 2 } - 4 c = - 6 , c ^ { 2 } - 6 a = - 18$,则此三角形的形状是(A)
A. 等腰三角形
B. 等边三角形
C. 直角三角形
D. 钝角三角形

答案： A

11. 下面是某同学对多项式$( x ^ { 2 } - 4 x + 2 ) ( x ^ { 2 } - 4 x + 6 ) + 4$进行因式分解的过程.
解:设$x ^ { 2 } - 4 x = y$,则
原式$= ( y + 2 ) ( y + 6 ) + 4$(第一步)
$= y ^ { 2 } + 8 y + 16$(第二步)
$= ( y + 4 ) ^ { 2 }$(第三步)
$= ( x ^ { 2 } - 4 x + 4 ) ^ { 2 }$(第四步).
(1)该同学第二步到第三步运用了因式分解的(C);
A. 提取公因式
B. 平方差公式
C. 两数和的完全平方公式
D. 两数差的完全平方公式
(2)该同学因式分解的结果是否彻底? (选填“彻底”或“不彻底”)不彻底.若不彻底,请直接写出因式分解的最后结果:$(x - 2)^4$;
(3)请你模仿以上方法尝试对多项式$( x ^ { 2 } - 2 x ) ( x ^ { 2 } - 2 x + 2 ) + 1$进行因式分解.$(x - 1)^4$

答案：
(1)C；
(2)不彻底；$(x - 2)^4$；
(3)$(x - 1)^4$。

12. 我们把多项式$a ^ { 2 } + 2 a b + b ^ { 2 }$及$a ^ { 2 } - 2 a b + b ^ { 2 }$叫作完全平方式.如果一个多项式不是完全平方式,我们常做如下变形:先添加一个适当的项,使式子中出现完全平方式,再减去这个项,使整个式子的值不变,这种方法叫作配方法.配方法是一种重要的解决问题的数学方法,不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式,还能解决一些与非负数有关的问题或求代数式的最大值、最小值等.
例如:分解因式$x ^ { 2 } + 2 x - 3 = ( x ^ { 2 } + 2 x + 1 ) - 4 = ( x + 1 ) ^ { 2 } - 4 = ( x + 1 + 2 ) ( x + 1 - 2 ) = ( x + 3 ) ( x - 1 )$;例如:求代数式$2 x ^ { 2 } + 4 x - 6$的最小值.$2 x ^ { 2 } + 4 x - 6 = 2 ( x ^ { 2 } + 2 x - 3 ) = 2 ( x + 1 ) ^ { 2 } - 8$.可知当$x = - 1$时,$2 x ^ { 2 } + 4 x - 6$有最小值,最小值是-8.
根据阅读材料,用配方法解决下列问题:
(1)分解因式:$m ^ { 2 } - 4 m - 5 =$$(m + 1)(m - 5)$;
(2)当a,b为何值时,多项式$a ^ { 2 } + b ^ { 2 } - 6 a + 8 b + 18$有最小值? 并求出这个最小值.
当$a =$3，$b =$-4时，多项式$a^2 + b^2 - 6a + 8b + 18$有最小值，最小值为-7。

答案：
(1)$(m + 1)(m - 5)$；
(2)当$a = 3$，$b = - 4$时，多项式$a^2 + b^2 - 6a + 8b + 18$有最小值，最小值为-7。