《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例2 如图，已知线段$a$，$b$，$c$. 求作：$\triangle ABC$，使$BC = a$，$AC = b$，$AB = c$.

作法：
1. 作线段$BC = a$；
2. 以$B$为圆心，$c$为半径画弧；
3. 以$C$为圆心，$b$为半径画弧，两弧交于点$A$；
4. 连接$AB$，$AC$，则$\triangle ABC$即为所求作的三角形。

答案： 【解析】：
1. 作线段$BC = a$。
理由：根据已知条件，先确定三角形的一条边。
2. 以$B$为圆心，$c$为半径画弧。
理由：为了确定点$A$的位置，使得$AB = c$。
3. 以$C$为圆心，$b$为半径画弧，两弧交于点$A$。
理由：通过两弧相交确定点$A$，满足$AC = b$。
4. 连接$AB$，$AC$。
理由：得到三角形$\triangle ABC$。
【答案】：
作线段$BC = a$；以$B$为圆心，$c$为半径画弧；以$C$为圆心，$b$为半径画弧，两弧交于点$A$；连接$AB$，$AC$，则$\triangle ABC$即为所求作的三角形。

4. 如图，已知线段$a$. 求作：$\triangle ABC$，使$AB = 2 a$，$BC = 3 a$，$AC = 4 a$.

作法：
1. 作射线$AM$，在射线$AM$上截取$AB = 2a$；
2. 以点$B$为圆心，$3a$为半径画弧；
3. 以点$A$为圆心，$4a$为半径画弧，两弧交于点$C$；
4. 连接$AC$、$BC$，$\triangle ABC$即为所求作的三角形。

答案： 【解析】：
1. 作射线$AM$，在射线$AM$上用圆规截取$AB = 2a$。
具体操作：先将圆规的两脚张开到长度为$a$，然后在射线$AM$上从端点$A$开始，连续截取两次，得到线段$AB$，使$AB$的长度为$2a$。
2. 以点$B$为圆心，$3a$为半径画弧。
把圆规的一脚固定在点$B$，调整圆规两脚间的距离为$3a$，然后画弧。
3. 以点$A$为圆心，$4a$为半径画弧，两弧交于点$C$。
同样将圆规一脚固定在点$A$，调整圆规两脚间距离为$4a$画弧，该弧与以点$B$为圆心所画的弧相交，交点即为点$C$。
4. 连接$AC$、$BC$，则$\triangle ABC$就是所求作的三角形。
【答案】：
1. 作射线$AM$，在射线$AM$上截取$AB = 2a$；
2. 以点$B$为圆心，$3a$为半径画弧；
3. 以点$A$为圆心，$4a$为半径画弧，两弧交于点$C$；
4. 连接$AC$、$BC$，$\triangle ABC$即为所求作的三角形。

例3 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，点$B$，$E$，$C$，$F$在同一条直线上. 下面四个条件：①$AB = DE$；②$AC = DF$；③$BE = CF$；④$\angle A B C = \angle D E F$.
(1)请选择其中的三个条件，使得$\triangle A B C \cong \triangle D E F$；(写出一种情况即可)①②③（或①③④）
(2)在(1)的条件下，试说明：$\triangle A B C \cong \triangle D E F$.
若选①②③：因为$BE = CF$，所以$BE + EC=CF + EC$，即$BC = EF$。在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = DE\\AC = DF\\BC = EF\end{array}\right.$，根据“SSS”，所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。（或若选①③④：因为$BE = CF$，所以$BE + EC=CF + EC$，即$BC = EF$。在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = DE\\\angle ABC=\angle DEF\\BC = EF\end{array}\right.$，根据“SAS”，所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。）

答案： 【解析】：
(1) 对于判断两个三角形全等，我们可以根据全等三角形的判定定理来选择条件。全等三角形判定定理有“SSS（边边边）”、“SAS（边角边）”、“ASA（角边角）”、“AAS（角角边）”。
已知$BE = CF$，因为$BE+EC=BC$，$CF + EC=EF$，所以$BC = EF$。
若选择条件①$AB = DE$、②$AC = DF$、③$BE = CF$，此时$BC = EF$，满足“SSS”判定定理；若选择条件①$AB = DE$、③$BE = CF$、④$\angle ABC=\angle DEF$，此时$BC = EF$，满足“SAS”判定定理。
(2) 若选择①②③：
因为$BE = CF$，所以$BE + EC=CF + EC$，即$BC = EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = DE\\AC = DF\\BC = EF\end{array}\right.$，根据“SSS”（三边对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
若选择①③④：
因为$BE = CF$，所以$BE + EC=CF + EC$，即$BC = EF$。
在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = DE\\\angle ABC=\angle DEF\\BC = EF\end{array}\right.$，根据“SAS”（两边及其夹角对应相等的两个三角形全等），所以$\triangle ABC\cong\triangle DEF$。
【答案】：
(1) 选择①②③或①③④。
(2) 若选①②③：因为$BE = CF$，所以$BC = EF$，在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = DE\\AC = DF\\BC = EF\end{array}\right.$，$\triangle ABC\cong\triangle DEF(SSS)$；若选①③④：因为$BE = CF$，所以$BC = EF$，在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\left\{\begin{array}{l}AB = DE\\\angle ABC=\angle DEF\\BC = EF\end{array}\right.$，$\triangle ABC\cong\triangle DEF(SAS)$。

5. (2024重庆八中期中)如图，在$\triangle ABC$和$\triangle BDE$中，再添加两个条件不能使$\triangle ABC$和$\triangle BDE$全等的是(B)

A. $AB = BD$，$AE = DC$
B. $AB = BD$，$DE = AC$
C. $BE = BC$，$\angle E = \angle C$
D. $\angle E A F = \angle C D F$，$DE = AC$

答案： B

6. 如图，在$\triangle ABC$和$\triangle DEF$中，$\angle A C B = \angle E F D = 90 ^ { \circ }$，点$B$，$F$，$C$，$D$在同一条直线上. 已知$AB \perp DE$，且$AB = DE$，$AC = 6$，$EF = 8$，$DB = 10$，则$CF$的长为4.

答案： $4$

7. 如图，已知$CA = CB$，$AD = BD$，$M$，$N$分别为$CB$，$CA$的中点. 试判断$DN$与$DM$的数量关系，并说明理由.

$DN$与$DM$的数量关系是$DN = DM$. 理由略.

答案： $DN = DM$. 理由略.