《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 分式的概念
一般地，如果 $ A $，$ B $ 表示两个整式，并且 $ B $ 中含有字母，那么式子 $ \frac{A}{B} $ 叫作分式。在分式 $ \frac{A}{B} $ 中，$ A $ 叫作分子，$ B $ 叫作分母。

答案： 【解析】：根据分式的定义，一般地，如果$A$，$B$表示两个整式，并且$B$中含有字母，那么式子$\frac{A}{B}$叫作分式。在分式$\frac{A}{B}$中，$A$叫作分子，$B$叫作分母。
【答案】：字母 分子 分母

2. 分式有无意义及分式的值等于 $ 0 $ 的条件
分式有意义的条件：分母不为$0$；
分式无意义的条件：分母为$0$；
分式的值为 $ 0 $ 的条件：分子为$0$且分母不为$0$；
分式的值为正数的条件：分子分母同号；
分式的值为整数的条件：分子能被分母整除。

答案： 【解析】：1. 对于分式$\frac{A}{B}$，要使分式有意义，则分母不能为$0$，即$B\neq0$。因为分母为$0$时，分式的运算就没有意义了。
2. 当分母$B = 0$时，分式$\frac{A}{B}$无意义，这是由分式的定义决定的。
3. 分式的值为$0$，需要分子$A = 0$且分母$B\neq0$。若分子为$0$，分母不为$0$，此时分式的值就是$0$；若分母为$0$，分式无意义，就不存在值为$0$的情况。
4. 分式的值为正数，即$\frac{A}{B}＞0$，根据有理数除法法则“同号得正”，所以分子分母需同号，也就是$A$、$B$同号，即$\begin{cases}A＞0\\B＞0\end{cases}$或$\begin{cases}A ＜ 0\\B ＜ 0\end{cases}$。
5. 分式的值为整数，意味着分子$A$是分母$B$的整数倍，也就是$A$能被$B$整除。
【答案】：分母不为$0$；分母为$0$；分子为$0$且分母不为$0$；分子分母同号；分子能被分母整除

例1 下列代数式中，哪些是分式，哪些不是分式？
$ -\frac{x}{5} $，$ \frac{1}{a + b} $，$ \frac{y}{x + 3y} $，$ \frac{m - n}{10} $，$ \frac{m + 6}{m} $，$ \frac{mn}{m} $，$ \frac{2x}{\pi} $。

答案： $\frac{1}{a + b}, \frac{y}{x + 3y}, \frac{m + 6}{m}, \frac{mn}{m}$ 是分式；
$-\frac{x}{5}, \frac{m - n}{10}, \frac{2x}{\pi}$ 不是分式。

1. 下列式子是分式的是（A）
A. $ \frac{x}{x + 1} $
B. $ \frac{x}{2} $
C. $ \frac{x}{2} + y $
D. $ \frac{2xy}{\pi} $
2. 在 $ \frac{x - 2y}{2} $，$ \frac{c}{2a + b} $，$ -\frac{y}{x} $，$ \frac{m^{2} + 1}{\pi - 1} $，$ \frac{x^{2} - 4}{x - 2} $ 中，其中分式有（C）
A. $ 5 $ 个
B. $ 4 $ 个
C. $ 3 $ 个
D. $ 2 $ 个

答案： 1. A 2. C

例2 （1）已知分式 $ \frac{2x^{2} - 18}{x + 3} $。
①当 $ x $ 取什么值时，分式有意义？
②当 $ x $ 取什么值时，分式的值为零？
（2）已知分式 $ \frac{10}{5 - x} $。
①当分式的值为负数时，求 $ x $ 的取值范围；
②当分式的值为正整数时，求整数 $ x $ 的值。

答案：
(1) ① 当 $x + 3 \neq 0$ 时，即 $x \neq -3$ 时，分式有意义。② 当 $x + 3 \neq 0$ 且 $2x^2 - 18 = 0$ 时，即 $x = 3$ 时，分式的值为零。
(2) ① 当 $5 - x ＜ 0$ 时，即 $x ＞ 5$ 时，分式的值为负数。② 当 $5 - x = 1$ 或 $2$ 或 $5$ 或 $10$ 时，即 $x = 4$ 或 $3$ 或 $0$ 或 $-5$ 时，分式的值为正整数。