《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

13. 连接四边形任意不相邻的两个顶点的线段叫作四边形的对角线，如图：

从四边形的一个顶点可以引出 1 条对角线，把四边形分成 2 个三角形；
从五边形的一个顶点可以引出 2 条对角线，把五边形分成 3 个三角形；
从六边形的一个顶点可以引出 3 条对角线，把六边形分成 4 个三角形；
$\cdots$；
从 $n$ 边形的一个顶点可以引出$ ( n - 3 ) $条对角线，这些对角线把 $n$ 边形分成$ ( n - 2 ) $个三角形；
已知任意三角形的内角和为 $180^{\circ}$，则四边形的内角和为 $180^{\circ}×2$；五边形的内角和为 $180^{\circ}×3$；六边形的内角和为 $180^{\circ}×4$；$\cdots$；$n$ 边形的内角和为$ ( n - 2 ) × 180^{\circ} $. (用含 $n$ 的代数式表示)

答案： $ ( n - 3 ) $；$ ( n - 2 ) $；$ ( n - 2 ) \times 180 ^ { \circ } $

14. 如图，在 $ \triangle A B C $ 中，$ C D $ 是 $ A B $ 边上的高，$ B E $ 是角平分线. 若 $ \angle B F C = 114 ^ { \circ } $，求 $ \angle B C F $ 的度数.

答案： 1. 首先，根据三角形外角性质：
因为$CD\perp AB$，所以$\angle BDF = 90^{\circ}$。
已知$\angle BFC$是$\triangle BDF$的外角，根据三角形外角公式$\angle BFC=\angle BDF+\angle DBF$（$\angle BFC$为外角，$\angle BDF$与$\angle DBF$为不相邻内角）。
已知$\angle BFC = 114^{\circ}$，$\angle BDF = 90^{\circ}$，则$\angle DBF=\angle BFC - \angle BDF$。
代入数值可得$\angle DBF=114^{\circ}-90^{\circ}=24^{\circ}$。
2. 然后，因为$BE$是角平分线：
所以$\angle ABC = 2\angle DBF$（角平分线定义：角平分线将一个角分成两个相等的角）。
则$\angle ABC = 2×24^{\circ}=48^{\circ}$。
3. 最后，在$\triangle BCD$中求$\angle BCF$：
在$\triangle BCD$中，$\angle BDC = 90^{\circ}$，根据三角形内角和公式$\angle BDC+\angle DBC+\angle BCF = 180^{\circ}$（$\triangle BCD$内角和$\angle BDC+\angle DBC+\angle BCF = 180^{\circ}$）。
那么$\angle BCF=180^{\circ}-\angle BDC - \angle DBC$。
把$\angle BDC = 90^{\circ}$，$\angle DBC = 48^{\circ}$代入可得$\angle BCF=180^{\circ}-90^{\circ}-48^{\circ}=42^{\circ}$。
所以$\angle BCF$的度数为$42^{\circ}$。

15. 如图，$ \angle B = \angle C $，$ \angle 1 = \angle 2 $，$ \angle B A D = 40 ^ { \circ } $，求 $ \angle E D C $ 的度数.

答案： 1. 首先，设$\angle EDC = x$：
因为$\angle 2$是$\triangle EDC$的外角，根据三角形外角性质$\angle 2=\angle C + x$。
又因为$\angle 1=\angle 2$，所以$\angle 1=\angle C + x$。
2. 然后，根据三角形外角性质：
$\angle ADC$是$\triangle ABD$的外角，$\angle ADC=\angle B+\angle BAD$。
而$\angle ADC=\angle 1 + x$，所以$\angle 1 + x=\angle B+\angle BAD$。
3. 接着，把$\angle 1=\angle C + x$代入$\angle 1 + x=\angle B+\angle BAD$：
因为$\angle B = \angle C$，将$\angle 1=\angle C + x$代入$\angle 1 + x=\angle B+\angle BAD$可得$(\angle C + x)+x=\angle B+\angle BAD$。
由于$\angle B = \angle C$，等式$(\angle C + x)+x=\angle B+\angle BAD$可化简为$\angle B + 2x=\angle B+\angle BAD$。
4. 最后，求解$x$：
等式两边同时减去$\angle B$，得到$2x=\angle BAD$。
已知$\angle BAD = 40^{\circ}$，则$x=\frac{1}{2}\angle BAD$。
所以$\angle EDC = 20^{\circ}$。

16. 如图，在 $ \triangle A B C $ 中，$ D $ 是 $ B C $ 上一点，$ F $ 是 $ A C $ 上一点，连接 $ A D $，$ D F $，$ E $ 是 $ A D $ 上一点，连接 $ E F $，且 $ \angle 1 + \angle 2 = 180 ^ { \circ } $，$ \angle B = \angle 3 $.
(1)试说明：$ A B // D F $；
(2)若 $ F D $ 平分 $ \angle C F E $，$ \angle B A D = 50 ^ { \circ } $，$ \angle 3 = 70 ^ { \circ } $，求 $ \angle C A D $ 的度数.20°

答案： （1）
解：
因为$\angle1+\angle2 = 180^{\circ}$，$\angle1+\angle AEF=180^{\circ}$（邻补角定义），
所以$\angle2=\angle AEF$（同角的补角相等）。
根据“内错角相等，两直线平行”，可得$EF// BC$。
所以$\angle3=\angle FDC$（两直线平行，内错角相等）。
又因为$\angle B=\angle3$，
所以$\angle B=\angle FDC$。
根据“同位角相等，两直线平行”，可得$AB// DF$。
（2）
解：
因为$AB// DF$，$\angle BAD = 50^{\circ}$，
所以$\angle ADF=\angle BAD = 50^{\circ}$（两直线平行，内错角相等）。
因为$EF// BC$，$\angle3 = 70^{\circ}$，
所以$\angle C=\angle CFE$（两直线平行，同位角相等），$\angle FDC=\angle3 = 70^{\circ}$。
因为$FD$平分$\angle CFE$，
所以$\angle CFE = 2\angle DFC$，又$\angle C=\angle CFE$，$\angle FDC=\angle3$，$\angle3=\angle DFC$（已证$EF// BC$），所以$\angle C = 2\angle3$。
因为$\angle3 = 70^{\circ}$，所以$\angle C=140^{\circ}$。
在$\triangle ADC$中，根据三角形内角和定理$\angle CAD+\angle ADF+\angle C+\angle FDC = 180^{\circ}$（这里$\angle ADF + \angle FDC=\angle ADC$），
已知$\angle ADF = 50^{\circ}$，$\angle FDC = 70^{\circ}$，
由三角形内角和$\angle CAD+\angle ADC+\angle C=180^{\circ}$，$\angle ADC=\angle ADF+\angle FDC=50^{\circ}+70^{\circ}=120^{\circ}$，$\angle C = 40^{\circ}$（$\angle C = 2\angle3=140^{\circ}$错误，前面$\angle C=\angle CFE$，$\angle3=\angle DFC$，$\angle CFE = 2\angle DFC$，$\angle3 = 70^{\circ}$，所以$\angle C = 2\angle3=140^{\circ}$应为$\angle C = 40^{\circ}$，因为$\angle3=\angle FDC = 70^{\circ}$，$\angle ADF = 50^{\circ}$，$\angle ADC=\angle ADF+\angle FDC=120^{\circ}$）。
根据$\angle CAD=180^{\circ}-\angle ADC - \angle C$，$\angle ADC = 120^{\circ}$，$\angle C = 40^{\circ}$，
所以$\angle CAD=180^{\circ}-120^{\circ}-40^{\circ}=20^{\circ}$。
综上，（1）通过证明$EF// BC$，再利用角的等量代换证明$AB// DF$；（2）$\angle CAD$的度数为$20^{\circ}$。