《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

1. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = AC$，$\triangle DEF$是$\triangle ABC$的内接等边三角形，则下列关系式成立的是（A）

A. $2\angle 1 = \angle 2 + \angle 3$
B. $2\angle 2 = \angle 1 + \angle 3$
C. $2\angle 3 = \angle 1 + \angle 2$
D. $\angle 1 + \angle 2 + \angle 3 = 90^{\circ}$

答案： A

2. 如图，$\triangle ABC$是等边三角形，$BD$是中线，延长$BC$到点$E$，使$CE = CD$，连接$DE$。下列结论：
①$BD\perp AC$； ②$BD$平分$\angle ABC$；
③$BD = DE$； ④$\angle BDE = 120^{\circ}$。
其中正确的结论有（D）

A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： D

3. 在等边三角形中，两条中线所夹的钝角的度数为$120^{\circ}$。

答案： $ 120 ^ { \circ } $

4. 以下关于等边三角形的判定：
①三条边相等的三角形是等边三角形；
②有一个角是$60^{\circ}$的等腰三角形是等边三角形；
③有两个角为$60^{\circ}$的三角形是等边三角形；
④三个角相等的三角形是等边三角形。
其中正确的是（D）
A. ①②③
B. ①②④
C. ①③④
D. ①②③④

答案： D

5. 如图，将边长为$5cm$的等边$\triangle ABC$沿$BC$向右平移$3cm$，得到$\triangle DEF$，$DE$交$AC$于点$M$，则$\triangle MEC$是等边三角形，$DM =$3$cm$。

答案： 等边；3

6. 如图，在$\triangle ABC$中，$AB = BC$，$E$为边$AC$的中点，连接$BE$。过点$A$作$AD// BC$，过点$C$作$CD\perp AD$于点$D$，且$BE = CD$。试说明：$\triangle ABC$为等边三角形。

解：因为$AB = BC$，$E$为边$AC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，所以$BE\perp AC$，则$\angle BEC = $$90^{\circ}$。
因为$AD// BC$，$CD\perp AD$，所以$\angle D = $$90^{\circ}$，又因为$AD// BC$，所以$\angle BCE=\angle CAD$（两直线平行，内错角相等）。
在$\triangle BEC$和$\triangle CDA$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BEC=\angle D = 90^{\circ}\\\angle BCE=\angle CAD\\BE = CD\end{array}\right.$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BEC\cong\triangle CDA$。
由全等三角形的性质可知$BC = AC$。
又因为$AB = BC$，所以$AB = BC=AC$，即$\triangle ABC$为等边三角形。

答案： 【解析】：
- 因为$AB = BC$，$E$为边$AC$的中点，根据等腰三角形三线合一的性质，所以$BE\perp AC$，则$\angle BEC = 90^{\circ}$。
- 因为$AD// BC$，$CD\perp AD$，所以$\angle D = 90^{\circ}$，又因为$AD// BC$，所以$\angle BCE=\angle CAD$（两直线平行，内错角相等）。
- 在$\triangle BEC$和$\triangle CDA$中，$\left\{\begin{array}{l}\angle BEC=\angle D = 90^{\circ}\\\angle BCE=\angle CAD\\BE = CD\end{array}\right.$，根据$AAS$（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等），可得$\triangle BEC\cong\triangle CDA$。
- 由全等三角形的性质可知$BC = AC$。
- 又因为$AB = BC$，所以$AB = BC=AC$。
【答案】：$\triangle ABC$为等边三角形。

7. 如图，在等边$\triangle ABC$中，$BD = CE$，$AD$与$BE$交于点$P$，$AQ\perp BE$，垂足为$Q$。若$PD = 2$，$PQ = 6$，则$BE$的长为（A）

A. 14
B. 13
C. 12
D. 无法求出

答案： A