《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

7. 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，延长$AB$至点$D$，连接$CD$，以$CD$为直角边作等腰$Rt\triangle CDE$，$\angle DCE = 90^{\circ}$，连接$BE$。求证：
(1) $AD =$$BE$；
(2) $BE\perp AD$。

答案： 【解析】：
(1) 因为$\angle ACB = 90^{\circ}$，$\angle DCE = 90^{\circ}$，所以$\angle ACB+\angle BCD=\angle DCE+\angle BCD$，即$\angle ACD=\angle BCE$。
又因为$AC = BC$，$CD = CE$（等腰$Rt\triangle CDE$的两直角边相等），根据$SAS$（边角边）定理可得$\triangle ACD\cong\triangle BCE$。
由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，所以$AD = BE$。
(2) 设$AD$与$BE$相交于点$F$。
因为$\triangle ACD\cong\triangle BCE$，所以$\angle A=\angle CBE$。
在$\triangle ABC$中，$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，所以$\angle A=\angle ABC = 45^{\circ}$，则$\angle CBE=\angle A = 45^{\circ}$。
所以$\angle ABF=\angle ABC+\angle CBE = 45^{\circ}+45^{\circ}=90^{\circ}$，即$BE\perp AD$。
【答案】：
(1) $AD = BE$；
(2) $BE\perp AD$。

8. 如图①，在$\triangle ABC$中，已知$\angle ACB = 90^{\circ}$，$AC = BC$，点$D$，$E$分别在边$AC$，$BC$上，且$CD = CE$，此时显然$AD = BE$，$AD\perp BE$成立。如图②，若保持$\triangle ABC$不动，将$\triangle DCE$绕点$C$逆时针旋转，旋转角为$\alpha$。当$0^{\circ}＜\alpha＜90^{\circ}$时，问：$AD = BE$，$AD\perp BE$是否成立？请说明理由。
$AD = BE$，$AD⊥BE$成立. 理由略.

答案： $AD = BE$，$AD⊥BE$成立. 理由略.