《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

6. (1) 若 $ ab = 2 $， $ a + b = -1 $，则代数式 $ 2a^{2}b + 2ab^{2} $ 的值为-4；
(2) 若 $ ab = 3 $， $ a - 2b = 5 $，则 $ a^{2}b - 2ab^{2} $ 的值为15。

答案：
(1)$-4$；
(2)$15$

7. 将下列各式因式分解：
(1) $ (x - 1)^{2} - x + 1 $；
(2) $ a(b - 2) - a^{2}(2 - b) $；
(3) $ (9x + y)(2y - x) - (3x + 2y)(x - 2y) $；
(4) $ x(x^{2} - xy) - (4x^{2} - 4xy) $。

答案：
(1)$(x - 1)(x - 2)$；
(2)$a(b - 2)(1 + a)$；
(3)$3(2y - x)(4x + y)$；
(4)$x(x - y)(x - 4)$．

8. 利用简便方法计算：
(1) $ 29×19.99 + 72×19.99 + 13×19.99 - 19.99×14 $；
(2) $ 101^{2} - 101 $；
(3) $ \frac{2^{2025}}{2^{2025} - 2^{2024}} $。

答案：
(1)$1999$；
(2)$10100$；
(3)$2$．

9. 已知 $ (2x - 21)(3x - 7) - (3x - 7)(x - 13) $ 可分解因式为 $ (3x + a)(x + b) $，其中 $ a $， $ b $ 均为整数，则 $ a + 3b = $-31。

答案： -31

10. 已知 $ x $， $ y $ 都是自然数，且有 $ x(x - y) - y(y - x) = 12 $，则 $ x = $4， $ y = $2。

答案： $4$；$2$

11. 阅读题：
因式分解： $ 1 + x + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} $。
解：原式 $ = (1 + x) + x(x + 1) + x(x + 1)^{2} $
$ = (1 + x)[1 + x + x(x + 1)] $
$ = (1 + x)[(1 + x) + x(1 + x)] $
$ = (1 + x)^{2}(1 + x) $
$ = (1 + x)^{3} $。
(1) 本题提取公因式2次；
(2) 若将题目改为 $ 1 + x + x(x + 1) + \cdots + x(x + 1)^{n} $，需提公因式n次，结果是$(x + 1)^{n + 1}$。

答案：
(1)$2$；
(2)$n$；$(x + 1)^{n + 1}$

12. $ 3^{2025} - 4×3^{2024} + 10×3^{2023} $ 能被7整除吗？为什么？

答案： 原式能被$7$整除．理由略．