《2025年启航新课堂八年级数学上册人教版》

例1 如图，在$\triangle ABC$中，$\angle 1=\angle 2$，$G$为$AD$的中点，延长$BG$交$AC$于点$E$，$F$为$AB$上一点，$CF\perp AD$于点$H$。下列判断：

①$AD$是$\triangle ABE$的角平分线；
②$BE$是$\triangle ABD$的边$AD$上的中线；
③$CH$是$\triangle ACD$的边$AD$上的高；
④$AH$是$\triangle ACF$的角平分线和高。
其中正确的有（B）
A. 1个
B. 2个
C. 3个
D. 4个

答案： B

1. 下列说法中正确的是（D）

A. 从直线外一点到这条直线的垂线段叫作这个点到这条直线的距离
B. 三角形的角平分线是射线
C. 三角形的三条高所在的直线交于一点，且这一点不在三角形内就在三角形外
D. 任何一个三角形都有三条高、三条中线、三条角平分线

答案： D

2. 如图。
(1)若$AM$是$\triangle ABC$的中线，$BC=12cm$，则$BM=CM=$6$cm$；
(2)若$AD$是$\triangle ABC$的角平分线，则$\angle BAD=\angle DAC=$$\frac {1}{2}∠BAC$；若$\angle BAC=106^{\circ}$，则$\angle DAC=$$53^{\circ }$；
(3)若$AH$是$\triangle ABC$的高，则$\triangle ABH$是直角三角形。

答案：
(1)6；
(2)$\frac {1}{2}∠BAC$；$53^{\circ }$；
(3)直角

3. 如图，已知$\triangle ABC$。
(1)画出$\triangle ABC$的角平分线$AD$；按上述角平分线画法画出$AD$
(2)画出$\triangle ABC$的中线$BE$；按上述中线画法画出$BE$
(3)画出$\triangle ACD$的边$AC$上的高和$CD$上的高。按上述高的画法画出$AC$边上的高$DF$和$CD$边上的高$AG$

答案： 【解析】：
(1) 角平分线的画法：以$A$为圆心，任意长为半径画弧，交$AB$、$AC$于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧相交于一点，过$A$点和这个交点作射线$AD$，$AD$就是$\triangle ABC$的角平分线。
(2) 中线的画法：找到$AC$边的中点$E$（可通过测量$AC$长度，取其中点），连接$BE$，$BE$就是$\triangle ABC$的中线。
(3) $AC$边上高的画法：过$D$点作$AC$的垂线，垂足为$F$，$DF$就是$\triangle ACD$边$AC$上的高；$CD$边上高的画法：过$A$点作$CD$延长线的垂线，垂足为$G$，$AG$就是$\triangle ACD$边$CD$上的高（具体画图时使用直尺和圆规规范作图）。
【答案】：
(1) 按上述角平分线画法画出$AD$；
(2) 按上述中线画法画出$BE$；
(3) 按上述高的画法画出$AC$边上的高$DF$和$CD$边上的高$AG$。

例2 (1)如图，在$\triangle ABC$中，点$D$，$E$，$F$分别在三边上，$E$是$AC$的中点，$AD$，$BE$，$CF$交于一点$G$。若$BD=2DC$，$S_{\triangle BGD}=8$，$S_{\triangle AGE}=3$，则$\triangle ABC$的面积是______30；

(2)如图，$AD$是$\triangle ABC$的中线，$DH\perp AB$于点$H$，$DG\perp AC$于点$G$，$AB=7$，$AC=6$，$DH=3$，则$DG$的长是______$\frac {7}{2}$。

答案：
(1)30；
(2)$\frac {7}{2}$

4. 如图，在$\triangle ABC$中，高$AD=2$，$CE=4$，则$AB$与$BC$的比值是______$\frac {1}{2}$。

答案： $\frac {1}{2}$